Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.06.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

по заданным их форме и размерам, а также по заданному их расположению и т. д. Для примера рассмотрим одну из этих задач.

По заданным форме и размерам плоской фигуры

А0В0С0>

лежащей в плоскости

общего положения

Р, требуется по­

строить ее проекции

(рис. 135).

 

 

Решение задачи обратно тому способу,

который

показан

на рис. 132.

 

 

 

Как было отмечено, построения, связанные с совмещением

проецирующей плоскости, проще, чем в

случае плоскости

X

Рис. 135

общего положения. Поэтому способом перемены плоскостей проекций в системе Н/Ѵ\ плоскость Р преобразована во фрон­ тально-проецирующее положение и вращением вокруг следа Ph совмещена с плоскостью проекций Я:

Затем

плоскость Р вместе с треугольником ABC

и горизон­

талями, проведенными

через его вершины, в

системе

Н/Ѵі

повернута

в исходное

положение.

 

 

 

 

В проекционной связи с а/,

Ь/,

с / и с помощью тех

же

горизонталей в

пересечении с прямыми, проведенными через

А о, В0, С0

перпендикулярно к следу Ph, найдены горизонталь­

ные проекции а,

Ъ, с и на фронтальных проекциях

горизонта­

лей в системе Ѵ/Н получены проекции а', Ь', с'

вершин

тре­

угольника.

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом, abc и а'Ь'с'

есть

искомые

проекции

тре­

угольника

ABC,

лежащего в заданной плоскости

Р.

 

 

Г Л А В А

IV

 

ПРОЕЦИРОВАНИЕ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

 

И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

 

Поверхность — это

совокупность

последовательных

поло­

жений движущейся в

пространстве

линии, называемой

обра­

зующей, по некоторой другой линии, называемой направ­ ляющей.

Различают поверхности линейчатые (образующая их — прямая линия) и нелинейчатые (образующая таких поверх­ ностей^— кривая линия).

Для удобства изучения из названных поверхностей выде­ ляют поверхности вращения, получаемые как совокупность последовательных положений прямой или кривой образую­ щей, вращающейся вокруг некоторой оси (прямой линии).

Поверхности, у которых смежные образующие

параллель­

ны друг другу, пересекаются в одной точке или

касательны

к какой-либо кривой линии (поверхности с ребром

возврата1 ),

развертываются в плоскость.

Все другие поверхности являются неразвертываемыми. Остановимся на рассмотрении поверхностей, образующих

простейшие геометрические тела, а также поверхностей, яв­ ляющихся составными элементами таких широко распростра­ ненных в машиностроении деталей, как винты, фрикционные

изубчатые колеса.

§31. Линейчатые поверхности

Поверхности, развертываемые в плоскость

На

рис. 136, а

показано образование

поверхности,

которая

называется

призматической. Образующая

AB

перемещается

параллельно

самой

себе по

направляющей—ломаной ли­

нии

ВВхВ2Вг.

образующая SB перемещается по направ­

На

рис.

136,6

ляющей ВВхВ2Вг

так, что все время проходит через неподвиж­

ную точку пространства 5. Полученная

поверхность

называ­

ется пирамидальной, а точка 5

вершиной

этой

поверхности.

АВВХАХ,

АХВХВ2А2

и

т. д., SBBX,

SBXB2

и т.

д. есть плоскости.

Следовательно, построение точки на призматической и пира­ мидальной поверхностях основано на условии принадлеж­ ности точки плоскости. Точки Е, К, M принадлежат изобра­ женным поверхностям, так как они лежат на прямых линиях, принадлежащих этим поверхностям.

 

1

Далее они

рассматриваться не будут; подробно см., например:

В.

О.

Г о р д о н ,

М. А. С е м е н ц о в - О г и е в с к и й . Курс начертатель­

ной

геометрии. М.,

1969.

9*

 

131

Рассмотренные поверхности называются многогранными. Если устремить число звеньев ломаных направляющих ВВхВ2Вг.. .Вп в бесконечность, а длину звеньев — к нулю, то направляющие превратятся в кривые линии ВС, а совокуп­ ности последовательных положений движущихся по ним об­ разующих AB и SB определят поверхности: цилиндриче-

Рис. 136

скую —образующие параллельны друг другу (рис. 137, а) и коническую — образующие проходят через неподвижную точку S, называемую вершиной этой поверхности (рис. 137,6).

 

 

Рис.

137

 

 

 

В отличие от предыдущих эти поверхности

называют кри­

выми. Любую точку на них, например

К, можно

построить,

считая ее принадлежащей одной из образующих.

 

Частным случаем

многогранной и

кривой

поверхностей,

когда направляющие

ВВХВ2В3...

и ВС

становятся

прямыми

линиями, является

плоскость — поверхность,

неограниченная

и прямолинейная

во всех направлениях.

 

 

132

Линия пересечения поверхности с плоскостью проекций называется следом поверхности. Его по аналогии с плоскостью и ее следами используют для задания поверхности на чертеже (эпюре).

Для изображения поверхности на чертеже надо задать такие условия, которые позволили бы определить положение каждой точки на этой поверхности. Поэтому в дополнение к следу поверхности, который может рассматриваться как на­ правляющая, необходимо знать еще направление образую­ щей поверхности.

X

Рис. 138

С учетом сказанного цилиндрическая поверхность на эпюре может быть задана ее следом на одной из плоскостей проекций, например ВС (be, b'c') — след на плоскости Я, и направлением образующей AB (ab, а'Ь') (рис. 138,а). Чтобы построить горизонтальную проекцию k точки К, принадлежа­ щей цилиндрической поверхности (на эпюре задана ее фрон­

тальная

k' проекция), через k' проводим фронтальную проек­

цию

I'd'

образующей

LD параллельно а'Ь' образующей AB

этой

поверхности. С

учетом параллельности образующих

строим горизонтальную проекцию Id и на ней в проекционной связи находим k.

Коническая поверхность на эпюре задается также следом ее на одной из плоскостей проекций и двумя проекциями вер­ шины поверхности. На рис. 138,6 заданы горизонтальный след конической поверхности ВС (be, b'c') и ее вершина S (s, s').

Построение проекций точки К (k, k') на изображенной по­ верхности пояснений не требует.

Рассмотренные поверхности развертываются в плоскости, так как смежные образующие призматической и цилиндриче-

133

ской поверхностей параллельны друг другу, а у пирамидаль­ ной и конической пересекаются в одной точке.

Поверхности, не

развертываемые в

плоскость

Поверхность, образованная движением прямолинейной об­

разующей по двум направляющим кривым

линиям так, что

она во всех положениях

остается параллельной некоторой

плоскости, именуемой плоскостью,

параллелизма,

называется

цилиндроидом

(рис. 139). АС

(ас,

а'с'),

BD (bd,

b'd')—на­

правляющие,

AB у A\BX

II A2B2

II . . . II P — образующие,

где

P (Ph, Pv)—плоскость

параллелизма,

следовательно,

афі\\

\\a2b2 II аф3 || ... ||P A .

 

 

 

 

 

 

Рис. 139

Такие поверхности находят применение в строительстве (своды, арки, перекрытия и др.).

Если одной направляющей линейчатой поверхности явля­ ется кривая линия, а второй — прямая, а образующая во всех своих положениях параллельна некоторой плоскости парал­

лелизма, то такая поверхность называется коноидом.

 

 

На

рис.

140 у

такой

поверхности кривая AB

(ab,

a'b')

и

прямая

CD

(cd,

c'd'), перпендикулярная

плоскости H, явля­

ются

направляющими.

По

ним

скользит образующая

АС

(ас,

а'с'), проходя промежуточные положения IE,

2F,

ЗМ,

4N,

BD,

оставаясь параллельной

плоскости

параллелизма

Я.

 

В инженерной практике в качестве направляющей

кривой

линии

берется винтовая

линия,

процесс

образования

которой

изображен на рис. 141. Здесь на поверхность прямого круго­ вого цилиндра навивается прямоугольный треугольник, гипо­

тенуза которого преобразуется в винтовую линию

(S — шаг

или

ход, а —угол подъема, d — диаметр цилиндра).

В

качестве другой направляющей берется ось

цилиндра

(прямая линия), на котором расположена винтовая

линия.

134

Поверхность коноида, полученная при таких направляю­ щих, называется винтовой (геликоидальной) поверхностью1 (рис. 142).

Если образующая АС (ас, а'с') во всех своих положениях остается перпендикулярной направляющей прямой DC (de,

 

 

Рис. 140

 

 

 

d'e'),

то полученная при этом

винтовая

поверхность

называ­

ется

прямой

геликоидальной

(рис. 142, а)

и лежит в

основе

образования

прямоугольной

нарезки.

В

процессе

движе­

ния

имеет место AxC\l.CD,

A2C2±.CD.

 

 

 

Рис. 141

Если

образующая АС (ас, а'с')

при

своем движении во

всех положениях наклонена к направляющей

CD под одним

и тем же

углом а < 9 0 ° , то совокупность

ее

положений дает

винтовую

поверхность, называемую

косой

геликоидальной,

1 hélicoïdal (франц.) — винтовой.

135

лежащей в

основе

образования треугольной нарезки

(рис. 142,6),

где

ZAlClDl=:ZA2C2D2<90°.

Рис. 142

Рассмотренные поверхности цилиндроида и коноида явля­ ются поверхностями, не развертываемыми в плоскость. Их. смежные образующие являются скрещивающимися прямыми.

§ 32. Тела, ограниченные линейчатыми поверхностями

Замкнутые призматическая и цилиндрическая поверх­ ности, ограниченные двумя параллельными плоскостями, об­ разуют геометрические тела, называемые призмой и ци­ линдром.

Части замкнутой пирамидальной и конической поверхно­ стей, заключенные между их вершинами и плоскостью любого направления, образуют геометрические тела, называемые пирамидой и конусом.

Поверхности названных тел развертываются в плоскость. На рис. 143 изображены своими проекциями многогран­ ники призма и пирамида и показано построение точек на их

поверхностях. О видимости

этих точек

судят

по

видимости

граней, которым они принадлежат. Например, точка К

(k, k')

ьидима и на плоскости проекций Я и на плоскости V, так как

она лежит на грани АВВ\АХ,

которая

на

этих

плоскостях

проекций видима. Точка

M

(m, m') лежит

на

грани

ААіСхС

призмы и на грани SAC

пирамиды,

которые на

плоскости

проекций Я видимы, а на плоскости проекций

V невидимы.

136

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы