Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

тельно, если предположить, что две характеристики одного семей­ ства пересекаются в некоторой точке М, то это означает, что

в точке М производная-^—имеет два значения. На основании урав­

нений (4-2) или (4-5) в этом случае в точке М газ одновременно должен иметь разные параметры, что невозможно при предпола­ гаемой непрерывности движения. Таким образом, сближение и

40

характеристики во всей области, где энтропия остается постоянной, но это значение изменяется при переходе от одной, характеристики к другой.

Если какая-нибудь характеристика оказывается прямолинейной, то вдоль нее все параметры газа сохраняются постоянными. Для

стоянное значение во всей области. Для доказательства этого утверждения проведем на плоскости (х, т) две произвольные ха­ рактеристики второго семейства ЛС и BD. Вдоль каждой из них инвариант г остается постоянным:

Аналогично можно показать, что если некоторая характеристика второго семейства прямолинейна, то во всей области инвариант R сохраняет постоянное значение.

41

Наконец, можно сформулировать еще одно свойство характе­ ристик при изоэнтропическом движении: если известно, что одна характеристика прямолинейна, то прямолинейны все характери­ стики того же семейства. Для доказательства предположим, что прямолинейна характеристика первого семейства AB (рис. 4-2), вдоль которой инвариант R x остается постоянным. Тогда, согласно предыдущему, во всей области инвариант г (4-9) остается постоян­ ным. Его значение может быть определено по параметрам, соот­ ветствующим известной характеристике. Возьмем произвольную характеристику первого семейства CD (рис. 4-2). Вдоль нее инва­ риант Ro остается постоянным. Таким образом, для любой точки характеристики CD одновременно выполняются соотношения

и а. Поэтому во всех точках характеристики CD параметры w и а

ние. Следовательно, эта характеристика прямолинейна. Так как характеристика CD произвольна, то все характеристики первого семейства прямолинейны.

Зная соотношения на характеристиках п их свойства, можно решать задачи о неустановпвшемся движении газа.. Остановимся на некоторых из них.

§ 4-4. Волна разрежения в трубе

Рассмотрим движение, возникающее в полубесконечной трубе (рис. 4-3) справа'от поршня при движении поршня влево. Будем считать, что в начальный момент времени т0 = 0 поршень находится в точке с X —0, его скорость w n = 0 и во всей трубе параметры имеют одно и то же значение ро, р, ао, w0 = Q. Пусть скорость порш­ ня, имеющая при т> 0 отрицательное значение, по абсолютной величине непрерывно увеличивается. Расстояние, пройденное порш­ нем за время т, вычисляется по формуле

щие неустановившееся движение в трубе. При этом частицы газа, непосредственно прилегающие-к поршню справа, двигаются со ско-

•42

ростыо поршня. Это будет выполняться во всех случаях, когда скорость поршня не более местной скорости звука в газе у поршня. При очень больших скоростях поршня произойдет отрыв поршня от газа. Такое движение рассматривать не будем. При движении

являющаяся характеристикой первого ■семейства. Эта характе­ ристика прямолинейна. Следовательно, все характеристики первого семейства также будут прямолинейными. Кроме того, во всей области инвариант Римана г сохраняется постоянным:

43

При принятом законе движения поршня -zc^ < 0 и уменьшается с увеличением і. Поэтому.

и первое семейство характеристик в рассматриваемом случае пред­ ставляет собой пучок расходящихся прямых, как это показано на рис. 4-3.

Для каждой точки на линии / известно w i и о;. Эти значения сохраняются вдоль всей характеристики, проходящей через эту точку. Проводя достаточно густой пучок характеристик, будем иметь значения w и а для любой точки плоскости (х, т). Для по­ строения зависимости w и а от т для точки на расстоянии х про­ ведем через нее вертикальную прямую. Пересечение этой прямой с соответствующей характеристикой с параметрами w t и aL и опре­ делит момент времени тд в который в точке х будут указанные параметры.

Для изоэнтропического течения w и а однозначно определяют все остальные параметры. Отнеся их к параметрам торможения, получим

Таким образом, получено полное решение рассматриваемой за­ дачи о нестационарном движении газа при заданных начальных и граничных условиях.

§ 4-5. Пример расчета волны разрежения в трубе

Построить диаграмму х, х для неустановившегося движения воз­ духа, возникающего в трубе при рассмотренных в настоящем пара­ графе начальных и граничных условиях, а также графики измене­ ния всех параметров на расстоянии х = \ м. Скорость поршня w n= — 5000т. Принять к= 1,4 (рис. 4-4).

1. Строим график перемещенйя поршня:

х„ = I" w„dx — — 2500т2.

Ь

2. Для определения точек 0, 1, 2 и 3 на линии х п задаемся мо­ ментами времени т^ : 0; 0,01; 0,02; 0,03.

44