Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

3. Дальнейший расчет для выбранных точек 0, 1, 2, 3 ,... н соот­ ветствующих им характеристик удобно вести в виде таблицы.

\

4.Графики изменения всех'параметров на заданном расстоянии

по данным проведенного расчета показаны на рис. 4-4 и 4-5.

§ 4-6. Волна сжатия в трубе

Рассмотрим движение, возникающее в полубесконечной трубе для условий предыдущего параграфа, но только при движении поршня вправо (рис. 4-6). Пусть скорость поршня непрерывно уве­ личивается от нуля. Производя построения в плоскости (X, т) ана­ логично предыдущему, получим кривую ->crJ = /"(х), характеризую­ щую движение поршня, и точки на ней 0 ,1, 2, 3 ,... , через которые

45

проведены характеристики первого семейства. В данном случае скорость -Wj растет с увеличением т. Поэтому

Следовательно, в рассматриваемом случае первое семейство характеристик представляет собой пучок сходящихся прямых, как это показано на рис. 4-6, которые пересекаются. ■Последнее озна­ чает, что в течении появляется разрыв непрерывности изменения параметров — образуется удар­ ная волна. Граница перехода по­ коя в движение искривляется.

Теперь она уже характеризует движение фронта 'ударной волны. Уменьшение наклона этой грани­ цы означает тенденцию к росту интенсивности ударной волны, вызываемой ускоряющимся дви­ жением поршня. Картина дви­ жения усложняется. Усложнение еще более увеличивается вслед­ ствие того, что прохождение ударной волны вызывает увели­ чение энтропии газа и анализ

движения должен производиться с учетом этого изменения. Возни­ кает необходимость изучения соотношения параметров на фронте ударной волны, или в скачке. Использование этих соотношений позволяет вести дальнейший расчет неустановившегося движения методом характеристик.

§ 4-7. Понятие о расчете неустановившегося движения методом характеристик

Выше мы получили представление о решении задачи неустано­ вившегося движения газа при постоянной энтропии с помощью характеристик. Постоянство' энтропии и прямолинейность характе­ ристик одного семейства сделали решение простым и эффективным. Отсутствие этих условий приводит к значительному усложнению.

Рассмотрим, как может решаться задача об одномерном движе­ нии в общем случае. Обратимся к плоскости (х, т), в которой в точ­ ках 1 и 2 известны все параметры движения:

для Х\, Х\ имеем аь W\, Ѳь |і, pt; для хг, г2 имеем а2, w2, Ѳ2, Ь, р2 -

Проведем через точку 1 характеристику первого семейства, а через точку 2 — характеристику второго семейства. Они пересе­

46

и (4-5) — (4-7). Возьмем точки 1 и 2 достаточно близко друг к другу. Тогда дифференциальные уравнения можно заменить уравнениями в конечных разностях для пар точек 1—М и 2—М:

жет быть найдена также графически, если через точки 1 и 2 про вести касательные к характеристикам по уравнениям (4-2) и (4-5) Уравнения (4-2) и (4-22') при известном уже т определят два зна­ чения За значение лагранжевой координаты £ в точке М может быть принято среднее арифметическое этих двух зна­ чений. Так как мы считаем, что в окрестности рассматри­ ваемых точек скачков нет, то энтропия сохраняется в части­ це. Поэтому 0 является функ­ цией только лагранжевой коор­ динаты £ и может быть вычис­ лена по. линейной интерполя­

ции между Ѳі и 02 по £і, t2 и

При найденной 0 система уравнений (4-23) определяет значе­ ния w и а. Таким образом, все параметры в точке М оказываются найденными.

Если параметры вдоль некоторых линий ОА и OB (рис. 4-7) известны, то принимая достаточно малые шаги и выполняя рас­ смотренную операцию многократно, покроем интересующую нас область плоскости х, т сеткой характеристик с узловыми точками, все параметры в которых будут известны. Это дает решение задачи.

Пример расчета изложенным методом будет рассмотрен ниже.

47

Глава 5. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В ГАЗОВОМ ТЕЧЕНИИ

(Элементы теории ударных волн)

§ 5-1. Примеры образования скачков в газовом течении. Ударная волна

При некоторых условиях движения газа наблюдается наруше­ ние непрерывности изменения его параметров. Это выражается в образовании скачков уплотнения и в образовании и распростра­ нении ударных волн.

на AB называется плоским косым скачком уплотнения, или плос­ кой стационарной ударной волной. При переходе через такую удар­ ную волну поток испытывает скачкообразное изменение всех пара­ метров.

48

Образование косого скачка уплотнения происходит также при обтекании-сверхзвуковым потоком внутреннего . угла (рис. 5-2). В этом случае благодаря повороту стенки сечение потока умень­

вместо волн AB' іи AB" образуется косой скачок конечной интен­ сивности AB, занимающий некоторое промежуточное положение, определяемое углом а, (aj< ол < а*). При переходе потока через

линию AB все параметры изменяются скачком.

При взрыве взрывчатых веществ и в некоторых других случаях возникает ударная волна, под которой понимают резкое и значи­ тельное по величине сжатие среды, распространяющееся со сверх­ звуковой скоростью. Природа ударной .волны тождественна при­ роде звуковых волн. В обоих случаях в газе распространяется упру­ гая деформация среды, при которой движение среды передается от слоя к слою и в каждом последующем слое с некоторым запазды­ ванием повторяются процессы, происходившие ранее в слое, распо­ ложенном ближе к источнику возмущения.

Различие, между ударной и звуковой волнами обусловливается силой возмущения среды: в виде ударных волн распространяются сильные, а в виде звуковых воли— слабые возмущения. Поэтому звуковая волна может рассматриваться как частный случай удар­ ной волны малой амплитуды. Для выяснения причины образования и устойчивости фронта ударной волны рассмотрим распростране­ ние в газе волны сжатия конечной амплитуды. Пусть такая волна сжатия распространяется в направлении оси х. На рис. 5-3 пока­ заны кривые распределения давления в различные моменты вре­ мени: п, Гг, т3 и т4 (моментальные снимки волны в указанные мо­ менты времени). Распределение давления в волне сжатия в началь­ ный момент времени ті изображается кривой а (см. рис. 5-3). Скорость распространения возмущения от любой точки волны рав-