Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

Это означает, что использование стационарного течения разре­ жения для ускорения потока в ударной трубе целесообразно до уИ= 1, после чего желательно, чтобы дальнейшие ускорения по­ тока происходили в нестационарном течении разрежения. В про­ стейшей трубе имеет место только-нестационарное течение разре­ жения. В рассмотренной трубе с большим отношением сечений камеры и канала это условие автоматически выполняется. Труба фактически «запирается» для дальнейшего ускорения стационар­ ного течения после достижения ЛТ = 1 на входе в канал. Для даль­ нейшего ускорения стационарного течения необходим расширяю­ щийся канал. Однако применение расширяющегося сопла при­ ведет к- уменьшению скорости на контактной поверхности по сравнению с каналом постоянного сечения. Таким образом, при­ ходим к выводу о нецелесообразности устройства сопла Лаваля в начале канала ударной трубы, если задача состоит в получении возможно более интенсивной ударной, волны.

§ 6-6. Расчет течения в ударной трубе с бесконечно большим

отношением сечения камеры и канала

!

а. Физическая модель движения газа

Выше была произведена количественная оценка интенсивности ударной волны в начале канала ударной трубы с бесконечно боль­ шим отношением сечения камеры и канала. При этом удалось по­ лучить достаточно простые аналитические зависимости для фронта образующейся ударной волны. Нестационарный процесс в трубе не ограничивается прохождением одного фронта волны. За фрон­ том волны движется нестационарный неизоэнтропический поток газа, параметры которого изменяются по длине канала и во вре­ мени. Расчет неустановившегося течения в ударной трубе, возни­ кающего при разрыве диафрагмы, представляет собой сложную задачу, точное решение которой в настоящее время не известно. Качественно картина такого течения широко освещена в литера­ туре [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и др.]. Значительно хуже обстоит дело с рас­ четом течения за фронтом ударной волны. Для ударной трубы с бесконечно большим отношением сечений камеры и канала за­ дача несколько упрощается благодарявозможности считать про­ цессы в камере квазистационарными.

Для получения приближенного решения построим упрощенную физическую модель движения газа в рассматриваемой ударной трубе. Будем рассматривать адиабатическое движение газа для случая полубесконечной трубы (рис. 6-5). В ударной трубе рас­ сматриваемого типа имеется пять существенно отличных областей течения:

/ — объем баллона; •

II — короткий переходной участок;

87

88

Рис. 6-5,

III — движение вытекающего из баллона газа в трубе до со­ прикосновения с первоначально покоившимся в трубе га­ зом (от входа в трубу до контактной поверхности);

IV — область между контактной поверхностью и фронтом удар­ ной волны;

V — область невозмущенного газа перед фронтом ударной волны.

Вследствие предполагаемого большого отношения сечений бал­ кона и трубы и относительно небольшой длины баллона изменение параметров газа в баллоне по сравнению с распространением воз­ мущений в нем, поступающих от места входа в трубу будет про­ исходить медленно. Поэтому представляется целесообразным, как это отмечалось выше, считать процесс в баллоне квазистационарным. Возможность принятия этого предположения подтверждается также экспериментальными данными. Предполагается также, что истечение из баллона происходит квазистационарно и описывается, как это обычно делается в теории ударных труб и как это мы де­ лали ранее, уравнением Бернулли, Течение в областях III и IV одномерно. Будем считать его происходящим без трения и без теплообмена со стенками трубы. В области III энтропия постоянна,

.а в области IV процесс происходит с переменной энтропией.

Расчет течения в ударной трубе охватывает все рассмотренные области и увязывает их между собой на границах раздела по соот­ ветствующим условиям.

б.Картина течения в К—т-координатах и система обозначений

Будем рассматривать движение в плоскости (Я, т), по координат­

и второе семейства характеристик, определяющие движение в удар­ ной трубе. Наклонные'линии, близкие к- прямолинейным, представ­ ляют собой характеристики первого семейства. Их пересекают ха­ рактеристики второго семейства. 0D — линия фронта ударной вол­ ны. Правее нее газ покоится (область У). 0U — линия контактной поверхности. Между линиями 0D и 0U находится область течения с переменной энтропией (область IV). Между линиями 0U и От —

89

В области IV точки пересечения характеристик разных семейств имеют двоимой индекс: первый — номер характеристики первого семейства, проходящей через эту точку, второй — номёр характери­ стики второго семейства. Из точки пересечения характеристики первого семейства с линией OD выходит характеристика второго семейства с тем же номером. Поэтому точки на линии OD иімеіот индексы ft, ft.

I

Рис. 6-6.

Точки на линии OU имеют двойную нумерацию: справа и слева. Номер справа строится следующим образом: первый индекс — номер характеристики первого семейства ft, проходящей через эту

точку, а второй — г/(ft) = ent (—^—/■ Такая нумерация принята

в связи с тем, что для создания достаточно густой сетки характе­ ристик на нечетных характеристиках вводятся точки с OU и индексом .«с» на серединах соответствующих отрезков, параметры в которых определяются путем интерполяции. Слева от линии из точки пересечения с ft-й характеристикой первого семейства выхо­ дит ft-я характеристика второго семейства. Для отличия от точек области IV точки области III имеют перед двойным индексом тре­

:90

в. Расчет точек пересечения характеристик разных семейств

Расчет нестационарного течения в канале может быть произ­ веден на основе метода характеристик. С этой целью строится сетка характеристик разных семейств на плоскости X—т. При рас­ чете этой сетки дифференциальные уравнения характеристик заме­ няются соответствующими уравнениями в конечных разностях для соседних характеристик. С помощью этих уравнений оказывается возможным определить координаты точек пересечения характе­ ристик разных семейств (узловых точек k, і) и параметров газа в этих точках.

Переходя в соотношениях (4-2) — (4-7), выполняющихся вдоль характеристик, к относительным величинам, получаем

— вдоль характеристик первого семейства:

Координаты точки k, i (k ф i) определяются пересечением ха­ рактеристик первого и второго семейств (уравнения (6-30) и (6-33)), проходящих через соседние точки, имеющие индексы k, і—f и k— l, i:

также и по характеристике второго семейства (6-35):

91

Будем определять z k . как среднее арифметическое этих двух значений:

Величина е в области IV является функцией только лагранжевой координаты. Следовательно,

г. Расчет точек на фронте ударной волны (точек k, k)

Точка k, k определяется перечислением характеристики первого семейства, проходящей через точку k, k—1, с линией фронта удар­ ной волны OD. Для расчета используем соотношения параметров на фронте ударной волны, полученные в гл. 5. Перейдем в уравне­

92