Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

к — 1 ,

2

 

 

(6-48)

 

к -г 1 ^

«-}-1

0 2

 

К«ч/ѵ

( « +

I ) 8 ф

-

1)( к

(6-49)

пФ= еФ°Ф

( « + ! )

— ( « — 1)34

 

Параметры на фронте ударной волны определяются совмест­ ным решением уравнения (6-31) в разностной форме и соотноше­ ниями на скачке (6-46) —(6-49):

А, А \

Л—1

__ ]

( ’ А, А ЧА, А - і ) ~

 

\ ^А, А - 1 ' П

wft, к

(6-50)

к _ _

'к, к-1

 

 

2

?

 

о

к (к

І Г П 2

(«:;.*- и

= 0 ; (6-51)

А, А

" Г Г ( ‘’ А, а '5"

' )

'' а , а ‘

 

 

 

 

 

 

I)2

 

 

 

 

 

 

2

*■* ^

к — 1

с Ь - 1

 

(6-52)

 

 

А

 

 

 

 

 

А, А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к г—1 ,

2

1

 

(6-53)

 

 

А. А

 

к -}- 1 к -р 1 О-

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И г ,

А

 

 

( к +

1 ) -

( К -

(6-54)

S A, А ~ 3А. А

 

 

(« 4“ 1) Д, ft— (/<Г— 1)

Решение системы .(6-50) —(6-54) может быть получено методом последовательных приближений. Для предполагаемой близости

точек к, к и k, k— 1 величины eft k и sh , отличаются мало. По-

A. А - 1

этому в первом приближении положим k — ft_t. Тогда правая

часть уравнения

(6-50)

принимает известное

значение (в данном

случае нуль) и

решение системы упрощается. Решение систе­

мы (6-50) —(6-51) дает

vft

к и

к и далее легко последовательно

определяются

k, зк k

и

г/; ft.

Найденное

É подставим в (6-50)

и повторим процесс. Процесс итераций будем продолжать, прини­

мая в начале последующей итерации значение

е/; А,

полученное

в конце предыдущей итерации, до тех пор, пока

sk к

в двух после-

дователы-іых итерациях не будут отличаться

на

желаемую

вели­

чину. После окончательного определения в точке k, k скорости

k и

еа- к находим

2 к

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\*' К—\

/{—1

 

 

(6-55)

"А, А '

“ft, k ек,к

 

 

Tk,а =

Cl ft.

•

 

 

(6-56)

Координаты точки k будут найдены в результате пересечения характеристики первого семейства, проходящей через точку k, k—1

93

1 1 участка лш-шн фронта волны, проходящей через точку k—1, k—1:

' 4 , к 4 , * - 1 = I ' К ( ѵа . к - 1 “ Ь " - к , к - 1) ( Т А, к х к , * - і ) ’ ( 6 ‘ 5 7 )

4 ,

А

4 - 1 , Л - 1

2

(4-i, л-i 1 * 4 ,

л ) ( т а , а

”л—1 , а —1 )■ (6-58)

Для границы движения и покоя

лагранжева координата

равна

Xft

k:

 

 

 

 

 

 

 

 

-А, А 4 , А"

 

(6-59)

Таким образом, координаты точки k,

k и все

параметры газа

в этой точке определены.

 

 

 

 

 

 

д.

Истечение из баллона

 

Пусть в баллоне первоначально было т0 кг газа. К рассматри­ ваемому моменту времени из баллона вытекло Ат газа и оста­

лось іп — піо—Ат. Процесс изменения

состояния газа

в баллоне

нзоэнтропный, и объем баллона постоянный. Поэтому

для газа

в баллоне имеем соотношения между

начальными параметрами,

отмеченными индексом «О», и параметрами в рассматриваемый мо­ мент времени без индексов:

 

- ^ - = - -

— =

(1 - Х ) к

(6-60)

 

Ра

'»о

Т„

 

 

 

1О= (1 —АТ-1;

(6-61)

 

Z -

 

 

 

 

 

 

 

К—1

 

 

с = :0(і - X )

2 ,

(6-62)

где

Ат

 

 

 

 

Х = m,t

 

 

 

 

Количество газа Дт, вытекшее из баллона’к моменту времени т,

определяется как

 

 

Ат =

J F')b?bâx.

(6-63)

 

о

 

Индекс «Ь> относит величину к начальному сечению трубы.

 

Переходя к относительным величинам, получаем

 

1

'b'^bС

(6-64)

X =

/СоСГ1

 

где К о — конструктивный параметр ударной трубы,

 

 

V

(6-65)

Ко = Fa0 '

94

Для вытекающего газа согласно уравнению Бернулли имеем

к — 1

к — 1

'>ь-

(6−

66)

 

 

 

е. Расчет точек на контактной поверхности (на линии OU)

 

Расчет точек на линии OU производится снизу

(см. рис. 6-6).

Предполагается, что расчет вдоль k-\i характеристики закончен и

нужно

найти

параметры

и координаты

точки k + 1, у (k + 1) и

b, k + 1,

k+1,

имеющей двойное

обозначение. Координаты

этой

точки

определяются пересечением

участка

OB по известной

точ­

ке k,

y(k) и скорости в ней

vfc

а также характеристики

вто­

рого семейства, проходящей для четного k через точку k, y(k)+l,

а для нечетного k — через

точку k,

kc. Для

определения скоро­

стей ѵА+1

ѵ(й+1) и Cft+1

имеется

только одно уравнение соот­

ношения

V и С вдоль характеристики второго семейства.

Зададимся значением

vft+] у (й+1). Тогда

найдем tk+Uy{k+xy

и все параметры в этой точке. Параметры с другой стороны кон­ тактной поверхности определяются условиями на последней: ра­ венством давлений и скоростей частиц. Скорость звука с обеих сторон контактной поверхности определяется по л из условия по­ стоянства энтропии в области III. Далее по известным параметрам

точки Ь,

k+1,

k + 1 и параметрам

на

предыдущей

характеристи­

ке

(£'-й) производится последовательный

расчет в

направлении

к оси т. В результате получаются

точки

b, k + 1,

і, для

кото­

рых і уменьшается от k + 1 до

1 включительно

или

пока не

ста-

нет

\

й+і

 

Для точки

с

последним і параметры

прини­

маются равными параметрам газа на входе в трубу. По

ѵй

и кь.

вычисляется £, соответствующее состоянию в баллоне:

 

 

 

 

 

 

C= 1/ ' ^ - ' »

l +

Ü ^ A , .

 

 

(6-67)

 

Положим

тй+1 = хь ft+10. По разности

тй , —

на основании

уравнения

(6-64) определяется ДХ и новое значение X по уравне­

нию (6-62)

и значение t —A2. Рассматривается

разность

Л2—А\.

Если она велика, то задаются -новым значением скорости v/;+1

ѵ(fe+1)

и

расчет

повторяется. Итерации

заканчиваются,

когда

раз­

ность А2—А) станет меньше заданного числа, определяющего же­ лаемую точность расчетов. Параметры в баллоне и в области III в последней итерации считаются окончательными.

ж. Расчет вдоль первой характеристики'первого семейства

Предполагается, что параметры на фронте ударной волны, обра­ зующейся в начале трубы, известны (точка 0, 0). Будем считать,

95

что в пределах треугольника 0—b, 1, 0—/, 0 характеристики пер­ вого семейства прямолинейны. Поэтому во всем треугольнике вы­ полняется условие

^ ^ С—V= /? = const.

(6-68)

На входе в трубу скачков нет. Поэтому скорости '>ь и

здесь

должны одновременно удовлетворять уравнению Бернулли и усло­ вию (6-68):

f t _ 1

г

 

С

^b, к. О 1 b, k, 0

f t __ J 'k

—— с

 

(6-69)

- V

=

к — 1

'* к, О

Ь, к. О

Скорость Сд, определяется состоянием газа в баллоне. Вели­ чина R может быть определена в результате решения системы (6-69)

в

начале

течения,

когда

k = 0 Cft = C0

и ѵ

о =ѵоо ( \ 0—СК0Р0СТЬ

частиц за фронтом ударной волны):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

9

 

 

Ъ

 

К ■ 1

0 , 0

 

 

Y o ’

(6-70)

 

 

 

 

 

k - x V

 

2

 

Ѵ

 

 

 

 

Решая систему (6-69) при известном R для /г=1, получаем

 

 

ь. 1 , 0

'

к — 1

 

 

 

4(/с+

О ,2

 

1 R 2

(6-71)

 

 

К -f- 1 -

«

+

у -

(/г - 1 )

 

 

 

 

 

 

 

„

 

—'

К — 1

 

 

го)-

 

 

(6-72)

 

 

 

 

 

’/>, 1,0

9

№ +

 

 

 

и

Скорость

-t

определяется

на

основании

уравнений

(6-64)

(6-62); давление

~ь , 0 — по условию изоэнтропности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« + і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.0

К- 1

 

 

(6-73)

 

 

 

 

 

Ь, 1,0

 

 

Со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметры вдоль прямолинейной характеристики постоянны,

поэтому

 

 

 

 

 

 

, 1 . 1

■’

, 1 . 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 1.1

Y 1,0'

 

 

 

Ѵ Ь,

1 , 1

 

ь, го-

 

 

Параметры в точке 1, 0Ч

определятся

следующим образом:

 

 

ft

И

 

 

 

/,--і

 

 

 

 

___

 

ѵі,о

1

0

ж о —1

i

H,ov+1

(6-74)

 

 

 

И,о

~г>, к о’

V , '’

С0і0

I

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о,о

 

 

Далее

точка

1,

1 рассчитывается

как

точки /г, k при

'k—\.

Точка 1с лежит посередине отрезка 1, 0—1, 1 и рассчитывается путем интерполяции.

•96

з. Последовательность расчета

Весь расчет неустановившегося течения в ударной трубе про­ изводился в следующей последовательности.

0. Производится расчет параметров на фронте ударной волны

вначале трубы (точка 0, 0).

1.Производится расчет вдоль первой характеристики первого семейства.

2.Определяется точка 1с. Рассчитывается точка Ь, 2, 2—2, 0. При этом расчет в области III вдоль характеристики первого се­ мейства с номером /г = 2 оказывается выполненным. Далее произ­

водится расчет вдоль второй характеристики первого семейства

вобласти IV.

3.Рассчитывается точка Ь, 3, 3—3, 0 и выполняется расчет вдоль характеристики первого семейства с номером k = 3. Далее расчет последовательно ведется для k — i, 5,. .. Расчет заканчи­ вается задаваемым моментом времени тк или значением скорости

на контактной поверхности (например, ѴА0 = ^)- Густота сетки характеристик определяется значением первого шага времени ті, который задается.

Полученное таким образом решение справедливо для полу­ бесконечной трубы. Для трубы конечной длины с открытым кон­ цом оно применимо в области, которая лежит ниже характеристики второго семейства, проходящей в выходном конце трубы через точку с М = 1. В случае закрытого конца область применимости ре­ шения лежит ниже линии движения отраженной волны.

и. Некоторые результаты расчета на ЭЦВМ «Минск-22»

По описанному алгоритму расчета течения газа в ударной трубе было разработано задание, по которому в вычислительной лаборатории ВВИТКУ проведено программирование и произведены расчеты на ЭЦВМ «Мннск-22». Сходимость итераций получилась хорошей. Расчет одного варианта производится в течение 15—20 минут. Некоторые результаты расчета в качестве иллюстра­ ции представлены на рис. 6-7. При этом в расчете были при­

няты лі=20, Г, = 7, KQ— Ö,281.

Проведенная работа показала пригодность разработанного алгоритма для машинных расчетов и возможность получения на их основе достаточно полной картины неустановившегося течения в ударной трубе, возникающего при разрушении диафрагмы.-

§6-7. Затекание газа из камеры в длинный канал

Внекоторых случаях имеется необходимость рассчитать неуста­ новившееся движение, возникающее в длинном канале постоянного

■сечения при затекании в него газа из камеры значительного

7 Степанов И. Р.

97

Смотрите также файлы