Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

где ky.y, ky.m, ky.&— соответствующие коэффициенты уси­ ления. Выражение (4.23) определяет структуру переда­ точной функции упругой ракеты. Оно содержит множи­ тели, характеризующие реакцию конструкции на управ­ ляющий сигнал, обусловленную составляющими движе­ ния ракеты как твердого тела, упругими колебаниями корпуса, колебаниями жидкости в баках и колебаниями поворотного двигателя.

Посмотрим, как изменится структура передаточной функции упругой ракеты, если предположить, что пово­ ротный двигатель идеально отслеживает сигнал би, или, другими словами, сц = оо. Легко видеть, что

черкиванием строки и столбца, соответствующих коорди­

нате б. Разложение A'(s) на множители имеет вид, анало­ гичный (4.22), если в нем опустить последний сомножи­ тель; однако значения параметров Л*, со,,, /?„• и т. д. будут уже иными, поскольку они определяются корнями уравнения A'(s) =0.

Так как передаточная функция

Wy(s) = lim ITy(s),

C<56—>-oo

то она имеет следующую структуру:

Wy (s) = Wy.т(s) Wy.y (s) Wy.m(s) (s2 + 2/zoeS + wo^) ■ (4.28)1

Следует подчеркнуть, что нули передаточной функции ir'y(s) равны пулям функции \Fy(s).

Используя приведенный анализ^ можно получить структуру передаточных функций VFy(s) и U7y(s) для упругого самолета. В этих передаточных функциях будет

188

отсутствовать только сомножитель lFy.w(s), соответству­ ющий колебаниям жидкости в баках. Например, ТУу(х) для упругого самолета будет иметь следующий вид:

Иф(5) — ЭДфт(s) Иф.у(s) Ифб(s).

Конкретные выражения передаточных функций упругого летательного аппарата для ряда частных задач приведе­ ны в разд. 4.4 и 4.5.

Рассмотрим теперь структуру передаточных функций упругой ракеты №y*(s) и tKy(s) с учетом влияния нагруз­ ки на перемещения штока привода. Вначале сделаем не­ которые преобразования уравнений движением поворот­ ного двигателя

Учитывая формулу (4.11) для 6s, окончательно получим

Таким образом, при вычислении передаточных функций с учетом нагрузки на привод можно оперировать урав­ нениями (4.2) и (4.3), если в уравнение для поворотного двигателя добавить слагаемое

2

С 66

Q>68(s) =

^ бф с бб

189

Для составляющих вектора gi(s)/bh(s), по аналогии c (4.21), получим

Отсюда следует, что передаточные функции 4Ey(s) и J'Fy(s) связаны следующим соотношением:

^y(s)

Принимая во внимание вид передаточной функции ди­ намической жесткости гидропривода (4.14), можно ут­ верждать, что функция A*(s) имеет щ -Н полюсов и такое же количество нулей, причем /г^олюсов функции A*(s) совпадают с полюсами функции tEy(s), а еще один полюс определяется уравнением

Во s -f- Bi — О,

где Во = Far2a.i + а3с66, В* = /V W + а2с66.

Знаменатель функции A *(s)— характеристическое урав­ нение системы упругая ракета — поворотный двига­ тель— гидропривод. Это уравнение имеет п\ корней, порождаемых движением ракеты как твердого тела, уп­ ругими колебаниями корпуса, колебаниями жидкости в баках и колебаниями поворотного двигателя, аналогич­ ных, по неравных корням функции (4.22). Еще один корень определяется из уравнения Л0*5+ Л!* = 0 и харак­ теризует динамику гидропривода. Исходя из этого, мож­ но заключить, что передаточная функция TTy(s) имеет следующую структуру:

190

Характерно, что все нули передаточной функции T^y(s), за исключением s ——Bi*/B0*, совпадают с нулями функ­ ции iFy(s).

Чтобы определить передаточную функцию Wy* (s) = = p(s)/6(s), достаточно вспомнить, что согласно (4.19)

8(s) _______________ Css___________

M s) assS2Jrtn-ss-{- пц-{- Css

и,следовательно,

Сформулированные соображения о структуре переда­ точных функций UPy(s) можно использовать для установ­ ления структуры передаточных функций типа lFy.c (s) и и ЭД^Л.у(5)

4.3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Для решения задач устойчивости и оценки качества переходных процессов упругого летательного аппарата широко используют их частотные характеристики как объектов автоматического регулирования.

Пусть задано движение органа управления аппарата, имеющее гармонический характер. Например,

6ft(t) = 60cos соt.

Через некоторое время (после того, как затухнут собст­ венные колебания) конструкция будет совершать вы­ нужденные колебания с частотой со. Колебания конст­ рукции вызывают на входе системы стабилизации сигнал р(^), который также является гармоническим с часто­ той о), но сдвинутым по фазе относительно сигнала б* (t) . Поэтому

Р (t) = ро cos (со/ -ф 0) .

При фиксированной величине 6о амплитуда колеба­ ний Ро и сдвиг фаз 0 являются функциями частоты со. Функцию

191

ли = >

'бо

называют амплитудно-частотной, а 0(со)— фазочастот­ ной характеристикой упругого летательного аппарата. Функции А (со) и 0 (со) определяют амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), или просто частот­ ную характеристику.

Если известна передаточная функция летательного аппарата U^o(s), то, подставляя s = j со, получим выраже­ ние амплитудно-фазовой частотной характеристики

W0(jw) — A (w)ej0(“).

АФЧХ летательного аппарата может быть определе­ на непосредственно из уравнений возмущенного движе­ ния, минуя вычисления передаточной функции W'y(s). Кроме того, как будет показано ниже, АФЧХ могут быть получены непосредственно из дифференциальных урав­ нений возмущенного движения в частных производных. Частотные характеристики летательного аппарата могут быть определены экспериментально при летных испыта­ ниях или на специальной динамически подобной модели. Сравнение АФЧХ, полученных теоретически и экспери­ ментально, позволяет уточнить расчетную модель лета­ тельного аппарата как объекта регулирования.

Применяют несколько способов графического пред­ ставления частотных характеристик [1]. Один из спосо­ бов заключается в построении функции Л (со) и 0 (со) в зависимости от со. Согласно другому способу на графике строят логарифмические частотные характеристики. По оси ординат откладывают величины 20 IgA (со) и 0 (со), а по абсцисс величину со в логарифмическом масштабе. В ряде случаев частотные характеристики представ­

Передаточную функцию упругого летательного аппа­ рата (4.23) представим в виде

Wy(s)

s2 2h*iS -)- со2.

*1

192

и р а с с м о т р и м и з м е н е н и е со в у з к о м д и а п а з о н е ч а с т о т

Выделив действительную и мнимую части, получим

Подставив величину е в (4.34), получим уравнение го­ дографа частотной характеристики в следующей форме:

а2 + ф2

16/г2. со2.'

Таким образом, при изменении со вблизи значений частоты слабодемпфированного полюса годограф частот­ ной характеристики представляет окружность радиусом

193

У а2 + г|;2

с центром в точке с координатами

Рис. 4.4. Амплитудно-фазовые частот­ ные характеристики ракеты

«Сатурн-5» [11]

Значение параметра ы = со*г1/ А 1 —в для разных точек окружности можно вычислить, используя формулу

(4.35).

На рис. 4.4 в качестве примера показана частотная характеристика для ракеты «Сатурн-5» [11]. Значения частоты приведены в герцах. Свойства АФЧХ подробно рассмотрены в работах [24, 31].

Г9 4

Изложенная методика определения АФЧХ упругого летательного аппарата базируется на системе уравнений возмущенного движения. Эта система является прибли­ женной, так как в расчетах всегда приходится ограни­ читься конечным числом координатных функций. Вопрос о том, сколько и каких координатных функций необхо­ димо учитывать, чтобы получить решение с достаточной степенью точности, в большинстве случаев решается ин­ туитивно, на основании опыта решения подобных задач, сравнения результатов расчета и эксперимента. Поэтому большой интерес представляют методы, которые позво-

Рис. 4.5. Схема для расчета ча­

ляют получать частотные характеристики непосредствен­ но из решения дифференциальных уравнений в частных производных. В этом смысле упомянутые методы обеспе­ чивают точное решение рассматриваемой математиче­ ской задачи.

Непосредственное решение дифференциальных урав­ нений в частных производных может быть получено ме­ тодом прогонки, который во второй главе использовался для решения задачи о собственных колебаниях упругих летательных аппаратов.

В качестве примера рассмотрим определение частот­ ных характеристик летательного аппарата, упругие свойства которого схематизируются упругой балкой (рис. 4.5). В точке с координатой х = 1 находится управ­ ляющий орган, отклонение которого на угол 6 создает управляющую силу Ру8. В точке x = h к стержню упруго подвешена сосредоточенная масса ти моделирующая колебания жидкости в баке. Силами демпфирования для простоты выкладок пренебрегаем. Дифференциальные уравнения и граничные условия задачи могут быть пред­ ставлены в следующем виде:

195