Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Рассмотрим вынужденные колебания упругого аппарата, если угол б изменяется по закону

б = б 0е/“ *.

Реакцию конструкции на входной сигнал можно предста­ вить в виде

£ (* , 0 = £ {х) е/и (, т]1 ( 0 — тц е /“ *.

196

Уравнения и граничные условия (4.36) преобразуются к выражениям, аналогичным (2.46), за исключением гра­ ничного условия

Общий вид функции g(x), характеризующий деформации конструкции при' вынужденных колебаниях, согласно (2.47) — (2.53) представим в виде

I (х) = С щ и ( х ) + С 2« 1 2 ( х ) .

Удовлетворив граничным условиям при х = 1, получим следующие уравнения для определения постоянных С\ и С2:

C1U31(/)-(- CzUiz(l) = 0;

Как следует из метода решения, величины |(х), гц, так же как «з1(/ ), и41 (/) и т. д., являются функциями частоты вынужденных колебаний, поэтому и определитель А (со) есть функция со. Равенство А(со)=0 определяет частоты собственных колебаний системы. Частотная характери­ стика летательного аппарата будет определяться из вы­ ражения

д%(х)

(4.37)

dx Xя.У

Поскольку демпфирование конструкции не учитывалось, то сдвиг фаз может быть равным нулю или я, что опре­ деляется знаком выражения (4.37).

Так как

197

т о

функции W'y(s), расположенным на мнимой оси плоско­ сти 5. Покажем, что задачу о нахождении нулей пере­ даточной функции U?y(s), расположенных на мнимой оси, можно сформулировать как задачу о нахождении собст­ венных частот некоторой эквивалентной системы.

Рассмотрим краевую задачу, определяемую следую­ щим дифференциальным уравнением и граничными ус­

dl(x)

--------- —■0 цри x — Хду. dx

Остальные граничные условия в точке крепления упруго подвешенных масс имеют вид, аналогичный (4.36).

Общее решение этой задачи можно искать в виде

|(х) = СцМц (х) -р C2«i2(x).

Постоянные С\ и С2 определяются из следующей системы однородных уравнений:

C\U%i{X^.y) -р С2Ц22(Хд.у) — 0;

Ci«31 (/) -р С2«зг(/) = 0.

198

Нетривиальные решения возможны только при таких и, когда

что совпадает с условием А0(со)=0.

Таким образом, нули передаточной функции W'y(s), расположенные на мнимой оси, совпадают с собственны­ ми частотами краевой задачи (4.38).

Используя метод прогонки, можно определять также нули передаточной функции, расположенные на действи­ тельной оси комплексной плоскости, если в уравнении (4.38) полагать величину ю2<0.

4.4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ УПРУГОЙ РАКЕТЫ С УЧЕТОМ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ И ИХ СВОЙСТВА

Общий вид передаточных функций упругого летатель­ ного аппарата представлен соотношениями (4.23), (4.32), (4.33). Распределение нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости 5 полностью опреде­ ляет свойства упругого летательного аппарата как объек­ та регулирования. Разумеется, в общем случае ввиду сложности задачи, значения нулей и полюсов и их зави­ симость от конструктивных параметров летательного аппарата могут быть определены только с помощью вы­ числительных машин. Однако некоторые качественные зависимости параметров передаточных функций могут быть получены аналитически для упрощенной постанов­ ки задачи. Эти упрощения имеют следующий характер: во-первых, из всего многообразия степеней свободы, ха­ рактеризующих возмущенное движение в целом, выбира­ ются две-три степени свободы , определяющие тот или иной вид возмущенного движения; во-вторых, в уравне­ ниях движения такой упрощенной системы опускаются второстепенные члены. Здесь приводятся упрощенные пе­ редаточные функции упругого летательного аппарата, которые позволяют более конкретно представить зависи­ мость нулей и полюсов от конструктивных параметров.

Вначале рассмотрим передаточную функцию ракеты как твердого тела. Уравнения возмущенного движения, если пренебречь инерционными и демпфирующими со-

199

с т а в л я ю щ и м и у п р а в л я ю щ и х о р г а н о в , и м е ю т в и д

0-1—iZ + d-i-iz -(- (d-io -f- е_ю) ф +

Ру(О = Ф, следовательно, передаточная функция

Если пренебречь движением центра тяжести, то из вто­ рого уравнения (4.39) получим

______ §06____________

Wy.T ( s )

OooS2 + {doo + Cqo) s + doo

Коэффициенты уравнений (4.39) имеют следующий физи­ ческий смысл: a_i_i = m — масса ракеты; a00 = J — мо­ мент инерции относительно оси Oz, проходящей через центр тяжести:

где Хд — координата точки приложения управляющей силы. Передаточная функция теперь может быть пред­ ставлена в виде

Для динамически неустойчивого аппарата со*т2<0, а для устойчивого о)*т2>0; обычно величина /г*т> 0. Рас­ пределение полюсов передаточной функции (4.40) и со-

200