Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

л

h l /

д

•

д\

L x

= ^ ( 4 S i n ? ^ + c t g ö c o s c p 0 - J ;

л

hi /

д

д\

-

Ly = - 2 A c o s ' ? d b ~ c i g

s i

n f ^ ! ;

( 5 5 )

L z

=

~~ 2r. df

В дальнейшем

очень в а ж н о

знать

значение

оператора

L 2

в

сфе­

рических координатах . М ы приводим его, опуская в ы к л а д к и :

h 2

/

д

д

I

' д*\

h 2

U

= -

w

IdP +C t "&

Tb + ШП • ä^J = -

Д а '

(5 6 )

где Д ц > ?

— о п е р а т о р

Л а п л а с а

дл я сферы .

УСЛОВИЯ ОДНОВРЕМЕННОЙ ИЗМЕРЯЕМОСТИ

ДВУХ ВЕЛИЧИН

Д о п у с т и м, найдены

решения (46)

дл я собственных

функций

n собственных значений двух механических

величин А и В:

— Aà

=

0;

Щ -

В і =

0;

ф А

= фА'. ФА, . . . ;

(57)

'Ь =

фв, ФІ,

• • • ; А =

А ь А 2

, . . . ; В =

В 1 ;

В 2 , . . . .

З д е с ь могут

иметь

место дв а случая: либо

система

собственных

л

функций

оператора

А не совпадает с системой

функций

опера­

тора

В, либо

совпадает

с точностью

до постоянного

сомножите ­

л я С. П р е д п о л о ж и м , что в

каком - то

опыте

р е а л и з о в а н ы

усло­

вия,

соответствующие

собственным

функциям

-фА , тогда,

если

Ф "ФА, В ЭТОМ опыте

в о з м о ж н о

точное

измерение

величины А,

потому

что согласно в ы р а ж е н и ю

(46)

| А А | = (Ак — А ) = 0

и

невозможно

точное

измерение

величины

В, та к ка к г}>в Ф tju, а

следовательно,

и

| Д В | = £ 0 . Теперь допустим, что \|) В

совпадает

с ірА

(для простоты, не в

у щ е р б общности

вывода,

п о л о ж и м

С =

1), тогда

в

опытах

по измерению собственных

значений

А

реализуются

те

ж е условия,

ч т о . и

дл я В,

поэтому

в о з м о ж н о

одновременное

и

точное их

измерение.

О к а з ы в а е т с я ,

необходи­

мую предпосылку одновременной измеримости м о ж н о

в ы р а з и т ь

на операторном

«языке».

П о д е й с т в у ем на \|з— функцию (мы

полагаем,

что

Ч"А =

Ч'в =

= гр) с н а ч а л а оператором

л

потом

л

Л Л

л

А, а

В, получим

ВА-ф =

BAjtp,

т а к

к а к согласно первому

уравнению

(57) Аг|) =

А ^ -

Вынесем

л

л

постоянный

сомножитель Aj за

знак оператора В

AjB -ф. Соглас ­

но

второму

равенству (57)

это

будет

равняться

AjBjip-

Теперь

применим операции А и

В

к

г|з в обратной

последовательности,

Л Л

Л

=

Л

BjAjib.

Наконец,

возьмем

раз -

тогда АВф =

А В ^

BjAO =

л

л

ность двух операций А и В, примененных к if, в

различной

по­

следовательности:

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

BA'jj — А В ф =

(ВА — A B H ) =

( A j B j - B j A J

) - V .

(58)

Н о п р а в а я часть

уравнения

(58) равна

нулю, ибо

AjBj — произ­

ведение у ж е

обычных

чисел,

следовательно,

и л е в а я часть д о л ж ­

на равняться

нулю. Поскольку ipj — произвольная

функция

пол­

дится к

равенству

Л Л

Л Л

ВА -

A B -

0.

(59)

Уравнение

(59)

н а з ы в а ю т

условием

коммутативности

операто-

Л

л

ров А и В, или

просто коммутатором . И т а к , если

две

механиче­

ские величины

одновременно

измерены с

любой

точностью, то

их операторы коммутируют . Справедливо

и обратное: если опе-

Л

л

р а т о р ы А и В не коммутируют, соответствующие им

собствен­

ные значения не могут быть

одновременно

измерены точно. Д в а

соответствующей проекции

импульса:

Л Л

Л Л

h

Л Л

Л Л

h

( х р х -

рхх)-]> =

( х р х -

р х х ) =

2^і¥=0.

(60)

М ы видим, что

операторы

координаты

и импульса

некоммута ­

тивны, следовательно, х и

р х ,

а т а к ж е ,

разумеется, у

и р у , z и р ,

ранее

с ф о р м у л и р о в а н н о м у

принципу

Гейзенберга. С другой сто­

роны,

легко

показать,

что

операторы

к в а д р а т а

момента

импуль­

са и одной из его проекций, с к а ж е м

L z ,

коммутативны:

Л Л

Л Л

[

1

д2

д

д

I

1

д*\\

(L*LZ

- UL») ф =

l h ' [ -

^

w

щ

-

щ

{

- ^ щ

) \ ф = 0.

(61)

ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ

Если в квантовых

з а д а ч а х

реализуются условия,

которые

м о ж н о считать квазиклассическими

(относительно б о л ь ш а я мас ­

са частиц, высокие значения энергии,

макроскопические

разме ­

ры

геометрических

п а р а м е т р о в

и

т.

д . ) , то квантовомеханиче -

ские

решения д о л ж н ы

совпадать

с

классическими, поскольку

последние в таких

случаях безусловно

верны.

логических

принципов

физики вообще. Его соблюдение

м

о ж е т

с л у ж и т ь необходимым

критерием

правильности

построения

но­

вой теории,

но что еще

в а ж н е е , с

его помощью

нередко

удается

лучателя, д а н н ы е П л а н к о м , а затем

Эйнштейном,

и многие

дру­

гие примеры . Некоторые из них будут приведены

ниже .

З а к а н ч и в а я перечень в а ж н е й ш и х

постулатов

квантовой

ме­

ципов,

вот

у ж е

полстолетия

к а к

их

последовательное

примене­

ние о б о г а щ а е т науку и практику результатами

чрезвычайной

ценности.

В

качестве иллюстраций

достижений

квантовой

ме­

ханики

назовем истолкование

_ химической

связи,

объяснение

спектральных

закономерностей

и построение теории

твердых

тел. Во

всех

перечисленных

случаях

классическая

физика

ока­

з а л а с ь бессильной.

СТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ

Основным

уравнением

нерелятивистской

квантовой

механи­

ки является

уравнение Ш р е д и н г е р а

—ь!_Дф+

иф = іь*!:.

( 6 2 )

8*2m

т

т

2к

dt

'

П о т е н ц и а л ь н а я

энергия U ,

в х о д я щ а я

в

это

уравнение,

в

общем

случае

зависит

от координат

и

времени.

О д н а к о

д л я

многих

практически

в а ж н ы х з а д а ч

U

является функцией

только

ко­

ординат, тогда,

как мы увидим,

распределение

плотности

ве­

В о л н о в ую функцию в

р а с с м а т р и в а е м о м

случае

м о ж н о пред­

ставить в

виде

произведения

двух

сомножителей .

^ ( x , y , z , t ) = ¥ ( x , y , z ) ? ( t ) .

(63)

Подставим

в ы р а ж е н и е

(63)

в

уравнение

(62)

и,

разделив

все

его члены

на W (х, у,

z)

<p ( t ) , получим

h 2

1

A T - U ( x . y , z ) = A _ i _ 5 .

•

(64)

8ті2 т T ( x , y , z )

2тЛ <f (t)

dt

Л е в а я

часть уравнения

(64)

зависит

только

от

координат, а

п р а в а я — от времени.

Они

могут быть

равными

л и ш ь

тогда,

когда

к а ж д а я

из них

в

отдельности

равна

одной

и

той

ж е

по­

стоянной.

В т а к о м случае

уравнение

(64)

распадается

на

два

независимых:

W

+ £ Ѵ

+ £ Г + 8 * ш (

Е

_ и

) Ч

Г =

( ) ;

( 6 5 )

д х 3

ду2

dz2

h 2

dt

h

П е р в о е уравнение

системы

(65)

называется

амплитудным

деленная

функция

W (х,

у,

z),

з а в и с я щ а я

л и ш ь

от

координат .

Р е ш е н и е

второго уравнения

(65)

легко

находится

ср = е

- . 2

* Et

.

(66)

h

К а к

видим,

ф гармонически

зависит

от

времени,

точно

т а к

ж е

зависит от времени и волна де

Б р о й л я

(27), я в л я ю щ а я с я

част­

ным

решением

системы

(65)

при

U = О, но по гипотезе

де Брой ­

л я

постоянная

Е

в в ы р а ж е н и и

(27)

есть

энергия.

Такой

ж е

смысл она

д о л ж н а

иметь

и

в системе

(65). Поскольку Е = hv,

уравнение

(66)

м о ж н о

переписать в

виде

ср =

е ~ і ш 1 .

Т а к и м образом, полное решение уравнения Шредингера д л я

стационарных з а д а ч имеет вид:

<Ь (х, у,

z, t)

=

47 (х, у,

z) e_ i 2 l c v t .

(67)

Подставив

(67)

в в ы р а ж е н и е

вероятности

пребывания

микро­

частицы

внутри

элементарного

объема

dV,

получаем

d W =

W * d V

= W (х, у, z) 47* (х, у, г)

е~ ^ешаV

=

4747*dV

(68)

и у б е ж д а е м с я ,

что

dW

действительно

не

зависит

от

времени:

состояние

стационарное .

Ч т о

касается

амплитудной

части

^ - ф у н к ц и и ,

то

ее

общее

в ы р а ж е н и е

не

может,

быть

у к а з а н о