Файл: Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие.pdf

Тогда

будем

иметь

д л я

vL и у}

следующие

значения:

п

т

vt

= P i

+

221cifxj

+

'VXiaii;

п

у і =

2

а ч х і — b f

Условия

К у н а — Т а к к е р а

будут

иметь

вид:

п

ні

а)

pi + 2yicijXj

+

yiKiaijvi;

п

б) Ъ а ч х 1 — ь і = Ур

в) * , > 0 ,

> 0 , и г > 0 , А , ; . > 0 ;

г)

ад

+

4 ^ /

=

0.

Условия «а»—«в» образуют линейную систему у р а в ­

нений и неравенств. Условие «г» требует, чтобы из

к а ж ­

дых двух ограниченных

по знаку переменных xt

и

v-t (i/j

и Х;)

ПО крайней

мере

одна равнялась нулю. Всего пе­

ременных

в

линейной

системе 2 (т + п).

Следовательно,

все те решения

системы

«а»—«в»,

которые

образуют

множество

в о з м о ж н ы х

решений уравнения «г», характе ­

ризуются

тем, что

они

имеют число переменных, отлич­

ных от нуля, равное т + п. Остальные

переменные

д о л ж ­

ме равенств равно т + п, то, следовательно,

допустимые

решения н у ж н о выбирать среди базисных,

удовлетво­

7 Л. П. Падалко

97

Vа,.,.л7 = &,. (i =

l,

2 , . . . ,

ш);

X;

>

0.

Отметим, что здесь

п>т.

Пусть нам удалось

решить систему уравнений относи­

тельно т

переменных, -скажем, Х\, х2,

хт:

п—т

х ч

=

d

i +

2

(Я

= 1

2 ,

. . . ,

т ) ,

(2.14)

ft=i

где

zh

=

Л ' т

+ Л .

Будем назьгвать, как и в линейном

п р о г р а м м и р о в а ­

нии, переменные, стоящие в левой части,

базисными

или

зависимыми,

а

переменные

в правой

части

—

независи­

мыми, свободными.

И з теории линейного

программирова ­

ния известно,

что если

п—т

переменных

в

правой

части

приравнять нулю, то полученное решение

называется

ба­

зисным,

для которого xq=dq

и 2 f t = 0 . Базисное

решение,

полученное

из равенства

(2.14),

является исходным

д л я

решения

з а д а ч и

и з л а г а е м ы м

ниже методом-

В ы р а ж е н и е

(2.14) позволяет

представить /

как

функ­

цию свободных переменных. К в а д р а т и ч н а я

форма

примет

следующий

вид:

Кх\<

x-i-i ••• > хп)

=

fi(zlt

z2 ,

... , z „ _ m )

=

c0 0 -f-

n—m

n—m n—m

n—m

n—m

+ 2 2 c0 A + 2 2 c"iziz"

= (coo + S c o A ) + 2 (с л° +

1=1

/,=1

i = l

J = l

/,=1

+

УІ

cmzi)zh

=

(coo +

c o A

+

••• +

c0, „_,„?„_„,)

1 +

+

(Сю

+

С Ц Я І

+

. . . +

C|,

п-тїп-тУг

+

(C2 0

+

C2 1 2,

+

. . .

-f-

+

c2,

n—m

Zn—m)

Zo - j -

••• -f~ (Cn—m,

0

~T"

Cn—m, 1z

l

+

•••

+

-f" Cn—m,

n—m Zn—m)

Zn—m,

где

с й

=

сЛ . для Л,

i = 0,

1, 2,

/г—/?г.

Н е т р у д но убедиться,

что в ы р а ж е н и е

в скобках при zh

есть не что иное, к а к ^ —

• — — . В частности, дл я

исходной

2

дг„

1

точки

(z f t =0,

А = 1 , 2,

я — т ) —

•

= с;о .

Значе -

ниє /і в исходной точке р а в н о

с'т.

Условия

К у н а — Т а к к е р а

имеют

следующий

вид:

d f l

- > 0 ;

(2.15)

дгк

0.

(2.16)

менять местами, т. е. Z\ перевести в

р а з р я д базисных

на

место Х\,

а А'і — в р а з р я д переменных на место

Z\. Таким

образом,

базисными переменными

теперь

будут

Z\,

х2, х3, -.,

хт. Переменные хи 2 Ь г2 ,

г„-т

будут рав ­

ны нулю. Пр и этом переменная z{

выразится

через

но­

вые независимые переменные из равенства

(2.14):

Т-

99

" п

"її

II

/ і = 2

H - d ^ - 2 ] r f f A z f t -

(2.17)

Л = 2

С помощью в ы р а ж е н и я

(2.17),

исключив

Z\ из

систе­

мы (2.14), получим

новую систему:

п—т

х ,

= d% + d l Xi +

2

V A

(9 =

2,

3, ... .

/І -

яг).

(2.18)

Л = 2

К а к видно, .переход

от системы

(2.14)

к

(2.18)

анало ­

гичен

соответствующему преобразованию

симплексного

метода.

Д а л е е через

новые

свободные

переменные

в ы р а ж а е т ­

ся функция

f(X):

п—т

/ 2 ( * ! , А",, . . .

,

Хп) =

(4,

+

С^Хг +

2

С о Д . )

+

1=2

« = 2

/1=2

логично, если, конечно, условие К у н а — Т а к к е р а

! > 0

дгл

не выполнено хотя бы дл я одной переменной.

К а к толь­

и, = •

1

д?

'

2

дгх