Файл: Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие.pdf

которую назовем добавочной. Эта переменная связана со свободными переменными соотношением

Л= 2

Сп о м о щ ь ю равенства (2.20) исключается из форму­

лы (2.19) переменная zit в результате чего получается новая система:

неизвестных увеличилось на единицу за счет введения

аналогичный переход к следующему базисному решению, если условия Куна—Танжера не выполняются. Отметим,

счет допустимых вариаций переменной щ, т а к как щ не ограничена по знаку. Если добавочная переменная ока-

101

Среди всех п—т переменных г\ могут находиться 5 добавочных переменных «;- и п—т—s переменных, огра­ ниченных по знаку . В базис входят m + s переменных, линейно в ы р а ж а ю щ и х с я через свободные переменные по ф о р м у л а м :

п—т

хя = d% + 2 Л Л (<7 = 1, 2 , . . . , m + s).

му правилу, переход к базисному решению следует осу­ ществлять за счет этой переменной.

П р и переходе к следующему базисному решению мо­

раньше обращается в нуль, чем производная

102

независимую переменные поменять местами, с д е л а т ь пре­ образования в системе и приступить к с л е д у ю щ е м у шагу.

Во втором случае вводится новая добавочная пере­ менная и определяется новая система базисных перемен ­ ных в результате добавления к п р е ж н е й системе неза­ висимой переменной 2*, на место которой ставится до­ бавочная переменная Uj.

В обоих случаях в результате каждого шага преоб­ разований целевая функция в ы р а ж а е т с я через новые не­ зависимые переменные. Оптимальное решение достигает­

ручном счете, изложенный алгоритм просто реализуется в стандартной п р о г р а м м е для Э Ц В М .

§ 2.4. Градиентные методы

Понятие о градиенте функции. Градиентные методы опираются на понятие градиента функции, поэтому, преж ­ де чем излагать вычислительную схему градиентного ме­ тода, дадим истолкование градиента функции.

Пусть имеется непрерывная функция п переменных f(x-i, Х2, хп) с непрерывными первыми частными про­ изводными. Градиентом функции называется я-мерный вектор, элементами которого являются первые частные производные:

Частные производные характеризуют скорость возра­ стания функции в направлении координатных осей. Абсо­ лютная величина градиента равняется геометрической сумме векторов, направленных вдоль соответствующих координатных осей и равных по величине частным про­ изводным:

103

Гр ади ент показывает направление наискорейшего возрастания функции в соответствующей точке. В лю­ бом другом направлении из этой точки скорость меньше. Чтобы пояснить это, попытаемся определить производ­ ную функции в ином направлении . Пусть направление задается вектором г. Предположим, что |/"| = 1. Тогда производная функции f по направлению г будет равна

Выражение , стоящее под знаком суммы, может быть представлено в виде скалярного произведения двух век­ торов:

min f {х\, х2,... , хп);

g,{xlt х2, ... , л г „ ) < 0 (у = 1, 2,... , т);

* / > 0 .

Решение данной задачи можно рассматривать как на­ хождение такой траектории движения вектора Х= {х\,

104

х2, хп) от некоторого допустимого исходного решения. Х°, чтобы мы /получили оптимальное решение. Естествен­ но траекторию движения 'рассматривать вдоль линии ан­

тод нахождения траектории движения описывается сле ­ дующей системой дифференциальных уравнений:

Здесь t — некоторый параметр, например время.

Г Р и с . 2.6.

Решение этого уравнения дает оптимальную т р а е к т о ­ рию движения X(t) от некоторого начального вектора Xа к оптимальному без учета ограничений задачи . Особен­

Это означает, что направление траектории, исходящей из-

ференциальное уравнение с учетом ограничений, з а п и ш е м

Н а х о ж д е н и е искомого решения при этом сводится к определению седловой точки, которая для выпуклой за-

105