Файл: Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие.pdf

д а ч и

будет совпадать с глобальным оптимумом. И м е я

в

виду,

что по X осуществляется минимизация, а \по к

—

сіх,

=

n

если

л",- =

„

и

OF

>

_

— -

0,

0

0;

dt

1

дх:

dt

~

дх,

•в

остальных

случаях;

dt

=

0,

если

-

<

0

н

1

=

0;

dkj

'

dk,

dF

— ' -

—

в

остальных случаях,

dt

Если

исходить

из

начального

допустимого

решения,

то X(t)

—

решение

этой

системы

дифференциальных

уравнений — обладает тем свойством, что

lim

X

(/) = Х о п т .

/••со

Д а н н ы й

метод, основанный па решении системы диф ­

ференциальных уравнений,

не

дает

удобного

алгоритма

д л я Э Ц В М .

Более эффективным

является градиентный

ности допустимых

решений

Хк, таких, чтобы выполня­

л о с ь неравенство

Д Х * + 1 ) <

f{Xk).

Очередное решение определяется из уравнения

Х г =Х° — Xgrad/(X°),

(2.22)

в результате чего

получаем

П р и расчете следующего решения

по

уравнению

(2.22) возникает вопрос

о том, -какую следует

выбирать

величину

коэффициента

К, который определяет

размер

ш а г а от (предыдущего к

последующему

решению. Р а с ­

смотрим два варианта вычислительной схемы

решения

уравнения

(2.22).

В первом случае задается -постоянная величина па­

раметра

Я, и длина шага

изменения переменной

опреде­

ляется

в ы р а ж е н и е м

Такой метод расчета ш а г а обладает тем

достоинст­

вом, что по мере приближения, к оптимуму значения

про­

изводных уменьшаются, и, следовательно,

автоматически

уменьшается длина

шага .

После н а х о ж д е н и я очередного

решения

Хк+1

= Хк +

-\-АХ&

производится

определение

градиента в точке

Xk+l

и аналогично осуществляется поиск следующего

реше­

ния.

Геометрическая

иллюстрация х а р а к т е р а

движения

п

(2.23)

/=і

где б — малое положительное число.

В а ж н ы м моментом в реализации этого метода

являет­

ся выбор подходящей величины коэффициента

Х- Если

дет очень долгим из-за

необходимости расчета

градиента

во многих точках. С другой стороны, при слишком

боль­

шом значении X может

возникнуть незатухающий

про­

цесс поиска в районе оптимума. П р е д л а г а е т с я

в ряде вы­

числительных схем по

мере п р и б л и ж е н и я к

оптимуму

снижать величину коэффициента X.

Во втором варианте

реализации градиентного метода

на коэффициента X выбирается такой,

которая

миними­

зировала бы целевую функцию по линии градиента,

рас­

считанного в исходной точке. И н ы м и

словами,

выбира ­

ется значение X, минимизирующее

функцию f[Xk

—

нии функции f[Xk—

X grad

f(Xk)]

дл я коэффициента

X,

приобретающего

значения

АХ, 2АХ,

ЗАХ,

....

Здесь

АХ — интервал, на который разбивается X. Окончательно

выбирается

то значение X, дл я которого

функция

f[Xk

—

— X grad f(Xk)]

приобретает

минимальное

значение. Д л я

данного X вычисляются

Хк+1

и величина

целевой

функ­

ции. Если в новой точке

Хк+І

решение

неоптимально, то

аналогично

продолжается расчет д а л ь ш е :

Хк+2

= Xk+l

—

— Xgvad

В а ж н о е значение пр и реализации этого метода

имеет

выбор

величины интервала

АХ. И з л о ж е н н ы й

алгоритм

поиска

оптимума

называется

методом

наискорейшего

спуска.

Его

геометрическая

интерпретация

дана

на

гаться, чтобы ограничения не нарушались,

а

целевая

функция

уменьшалась .

Н а рис.

2.9

показаны в ы п у к л а я область допустимых

решений

и

линии

уровней нелинейной функции

цели.

Предположим,

что

градиентный

процесс

начинается

с

допустимого

решения Х°. Геометрическая

интерпретация

дается для задачи максимизации . Пусть

в

результате

движения по линии градиента мы пришли

в точку X'.

И з

этой точки двигаться д а л ь ш е

в

направлении

градиента

нельзя,

т а к

как м ы выйдем за пределы допустимой

об­

ласти . Наиболее подходящим

допустимым

направлением