Файл: Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.07.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

из этой точки является г, двигаясь вдоль которого				мы
приходим к точке X2.	Из точки X2,	двигаясь дальше,		мы
получим оптимальное	решение ^ 3 .
Таким образом, если в течение градиентного			процесса
мы оказались на границе области		допустимых	решений,
то з а д а ч а заключается	в нахождении такого направления
движения г, чтобы соблюдались ограничения. И д е я				ме

тода проектируемых градиентов состоит в том, что в та ких случаях градиент проектируется на границу допу стимой области, и движение осуществляется не вдоль градиента, а по его проекции. Это приводит к тому, что траектория движения все время остается на границе до пустимой области.

П о к а ж е м , как определить допустимое направление г. Очевидно, оно должно удовлетворять следующим соот ношениям:

Xk-,\	= х к — А г > 0 ;
9 Д Х * - л / - ) < 0 .
Очевидно, эти соотношения мы д о л ж н ы записывать
только	для тех ограничений, которые з а п р е щ а ю т движе

ние по линии градиента. Если на границе области допу

стимых решений		ХклЛ	= О, то можем записать
Хк — /,г	= 0.
Так к а к	К>0,	то	г д о л ж н о	удовлетворять условию
г > 0 .
К р о м е того, учитывая, что				вектор г		д о л ж е н находить
ся в плоскости,		касательной		к	области	ограничивающих
условий в точке		Х'\	мы можем		записать:

Уг, Ш > - = 0 .

Здесь і —	индекс тех ограничений і	— 1,2,	которые
	з а п р е щ а ю т движение по	линии	градиента.
Вектор	г, вдоль которого производится движение по
поверхности ограничений, д о л ж е н отвечать			направлению
наискорейшего уменьшения функции f{X).			Это значит,

ПО

что проекция вектораградиента целевой функции на на

правление		г д о л ж н а		иметь максимальное значение. Та
ким	образом,		з а д а ч а	определения	направления	м о ж е т
быть	сформулирована			к а к задача	максимизации	функ
ции
V	, .	та
2d'		дх,
при следующих			ограничениях
2J-		Д Х ,

г, > 0 ( / = 1 , 2 , . . . , и);

У, rl	= о .
Последнее условие означает, что нас интересует толь
ко направление, т. е. вектор,			по абсолютной		величине
равный единице.
После нахождения вектора г вдоль него делается шаг
или несколько шагов, пока не нарушается				условие
т
2 № ) ] 2 < б \
где б —	з а д а н н а я	положительная величина,			определяю
	щ а я окрестность ограничений.
З а т е м	вновь	находится	проекция	вектора - гради

ента на ограничивающую область, и движение осущест вляется по новому направлению .

Изложенный способ н а х о ж д е н и я допустимого	н а п р а в
ления очень трудоемок, та к как на к а ж д о м шагу	требу

ется решать задачу линейного программирования, а при

наличии последнего условия в	этой	задаче	—	з а д а ч у
нелинейного программирования .	Поэтому		рассмотрим
другой вид проекционного градиентного метода.
На рис. 2.10 показано, что градиент целевой				функ
ции направлен в сторону от области		допустимых		реше -

ний, разделенной плоскостью N. Вектор, соответствую щий проекции градиента, обозначен через г. Этот вектор определяется в ы р а ж е н и е м

/• = grad / 4- о- grad q.

giadf

Р н с. 2.10.

g?adf

/?* Ъ ^ С ^ /

^-^""^	Q7adqz	\	Р и с . 2.11.
3	1	ff7ad<jtt	Р и с . 2.11.

Коэффициент а определяется из условия, что векторы гнс] взаимно перпендикулярны, т. е.

(г grad а) = 0,

откуда	получаем
	grad /-grad у
	/grad	#
Если	ж е число	ограничивающих	поверхностей в	ка
кой-либо точке оказывается больше			одной, то 'выбор	на
правления движения осложняется . Н а рис. 2.11 д а н а				гео

метрическая интерпретация этого случая дл я двух огра

ничивающих	поверхностей.	Н а п р а в л е н и я	векторов
grad <7i и grad	q% указывают,	по какую сторону	от плос-

112


костей N[ и N2				расположена	область		допустимых		реше
ний. Д в и ж е н и е				по направлению grad / невозможно .						Из
рисунка видно,				что невозможно		т а к ж е д в и ж е н и е			по	на
правлению		вектора-проекции			г2,	та к как при этом			прони
зывается плоскость N\, но допустимо движение									по	на
правлению		вектора-проекции			г у Н а х о ж д е н и е вектора -
проекции,		допускающего движение,					осуществляется			по
условию
	(г, grad <7,.) >		0.
	Если среди			всех векторов-проекций г1				нет ни	одно
го, для которого				справедливо	это неравенство, т о н и одна
из	проекций		гг	не является	допустимым			направлением .
В	этом случае			движение из	точки		производится в со

ответствии с направлением проекции М вектора - гради

ента функции	/ на пересечение гиперплоскостей,		прохо
д я щ и х через	эту точку	перпендикулярно к градиентам
функции. В ы р а ж е н и е дл я вектора М, л е ж а щ е г о			в пере
сечении гиперплоскостей, ищем п о формуле
	т
М = grad / + V ai grad		qv

i—\

Вектор M перпендикулярен ко всем векторам grad qt. Это условие позволяет написать систему из т линейных уравнений для определения о,-:

(М grad ft) = (grad / -grad ft) + V a,.(grad 9,--grad ft) = 0;

III

(M grad qm) = (grad / • grad qm) + V o.(grad qt • grad qm) = 0.

Р е ш и в эту систему уравнений, находим коэффициен ты о,-, с помощью которых затем определяем вектор М.

П р и перемещении из точки, находящейся на поверх ности ограничений, на шаг конечной длины в направле нии г или М следующая точка может оказаться вне об ласти допустимых решений . В этом случае необходимо возвратиться из новой точки на поверхность ограниче-

8 Л. П. Падалко

113

ний, что	осуществляется	движением	по направлению
Egrad qt.	Н а п р а в л е н и е	этого вектора	соответствует пер

пендикуляру, опущенному из новой точки на поверхность ограничений. Д в и ж е н и е по вектору проекции-градиента существенно упрощается, если ограничивающими поверх ностями являются гиперплоскости. Н о в а я точка при этом не выходит за пределы допустимых решений .

Р и с . 2.12.


В заключение отметим, что		все изложенные		выше
градиентные методы	позволяют	находить	абсолютный
оптимум только в з а д а ч а х однозкстремального типа,				т. е.
в з а д а ч а х выпуклого	программирования . В		з а д а ч а х не

выпуклого программирования может быть не один эк

стремум. Р е з у		л ь т а т решения	при	этом во многом зави
сит	от выбора	той исходной	точки	(Аи Л 2 ,	Л 3 ) ,	с кото
рой	начинается спуск градиентным			методом.	Н а	рис. 2.12

показана схема получения различных решений в такого рода з а д а ч а х в зависимости от выбора начального приближения .

114

§ 2.5. Задачи нелинейного программирования

Оптимальное	размещение компенсирующих устройств
в электрических	сетях энергосистем. З а д а ч а формулиру
ется с л е д у ю щ и м	о б р а з о м : з а д а н ы конфигурация и пара

метры электрической сети, месторасположение и нагруз ки существующих источников и потребительских транс форматорных подстанций; требуется с целью повышения экономичности эксплуатации электрической сети опреде лить экономическую целесообразность и оптимальный ва риант размещения дополнительных компенсирующих устройств в сети.

Критерием оптимальности является условие миниму ма приведенных з а т р а т (В.1). Капитальные з а т р а т ы включают з а т р а т ы на установку компенсирующих уст

ройств

( К У ) .

В эксплуатационш _ г

расходы

входят

по

тери

электрической энергии в

сети,

вызванные протека

нием

реактивных

мощностей,

а т а к ж е ежегодные затра

ты, связанные

с эксплуатацией

компенсирующих

уст

ройств.

Д л я

компенсирующих

устройств

имеем

следующую

структуру з а т р а т :

[(Рн

РамЖуд +

ЯТР] X,. =

ptXt,

где

р„ —

нормативный

коэффициент

эффективности

к а п и т а л ь н ы х

вложений;

Рам —

коэффициент

амортизационных

отчислений;

^/уд

—

удельные капитальные з а т р а т ы

на установ

ку единицы мощности

КУ;

—

удельные потери

активной

мощности в

КУ;

Т — число часов включения;

(3 —

стоимость электроэнергии;

xt—

мощность компенсирующего

устройства.

В качестве компенсирующих устройств предусматри

ваем

статические

конденсаторы.

Д л я линий электропередачи з а т р а т ы имеют вид

-jjl— хц — ипхц>

где Ьц — коэффициент пропорциональности; Гц — активное сопротивление Ї/-Й ветви;

% — поток реактивной мощности по ветви Ц.

115

Смотрите также файлы

Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

Применение пылеугольного топлива для выплавки чугуна..pdf

Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций.pdf

Прямые реакции и изомерные переходы..pdf

Пузырев В.А. Тонкие ферромагнитные пленки в радиотехнических цепях.pdf

Файл: Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно