Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 0
|
-хг |
|
|
4 |
4 |
0 = |
& ёгч |
|
|
|
|
0 = 4 4 4 |
4 |
|
Контролем правильности вычислений коэффициентов этой таблицы будет служить выполнение следующих равенств:
Ьхь |
= |
— b i 2 |
- |
Ь г ъ |
+ |
Ь |
н — \ ; |
4 г , |
= — b-,0 |
— b23 |
- f |
Ъ,Л ; |
|||
*вз |
= |
- ь г г |
- |
& з з |
+ |
Ь |
и . |
Если Ь 2 2 Ф 0 , то, опять сделав один шаг жордановых исклю чений с этим разрешающим элементом, получим табл. 3.15.
Таблица 3.15 Таблица 3.1в
|
~Х< |
1 |
|
|
|
||
х- |
с ,» |
C,s |
|
1 |
|||
|
|
0 = |
Css |
4 4 |
Контрольные формулы правильности вычислений, коэффи циентов этой таблицы будут иметь вид:
С15 = |
С13 + С Н |
1 "> |
с2-, = • • С-23 -(- с,4 |
1 ; |
|
СЗо — . |
С 33 "Г С З І • |
|
Над табл. 3.15 произведем шаг жордановых исключений с разрешающим элементом с13Ф0 и получим табл. 3.16.
Б этой таблице должно выполняться условие:
^25 = du |
— 1 . d.,:> — du |
— 1 |
, |
d3r> = |
d3i - - |
1 . |
|
Решением |
системы |
(3.6) |
будут |
|
числа |
X | = £ / M , |
^2 = ^/24, |
л:з = ^з4, а контрольные |
числа di5 |
= xi—1, dys — Хг—1. #г5 = *з—1 |
|||||
дадут решение контрольной системы. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|
Таблица 3.17 |
Решение
|
|
|
|
1 |
о - |
|
|
а |
У, |
0 = |
<*„ |
а |
Уг |
|
|
|
|
гз |
|
0=. |
а» |
|
Уз |
|
|
|
|||
|
- Х Г |
|
-*з |
1 |
|
Зи |
|
|
|
|
О - |
|
|
4 , |
|
|
|
|
|
|
0 = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
X |
= |
|
г |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
0 |
- |
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
d l 4 |
|
|
|
^3 = |
< 4 |
|
Контроль |
|
/ |
б; — |
агГагГагі+уг |
|
1 |
1
- c „ + |
c H - 1 ) |
f)
|
1 |
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
d |
l |
4 |
- |
1 ) |
|
d |
i |
4 |
- |
0 |
d 3 S |
( = < 4 " |
1 ) |
|||
Схема решения системы (3.5) приведена в табл. 3.17 в пред положении, что система имеет единственное решение.
Пример 3.5. Решить систему |
|
|
|
|
|
||||
|
10 я,, — 5,80.al ~ 21,74.00 л, - |
0,33 = 0 , |
|
||||||
- |
5,80.я0 4- 21,74 • 00 ал |
- |
42,1 • 66 а, |
- |
6,5.26 = |
0 , |
|||
|
21,74.00 а0 - |
42,1.66 а, |
4- 121.5.01 а, |
- |
17,1.55 = |
0 . |
|||
а,, Ф 0,. Ь.„ Ф 0, |
с; ) 3 Ф 0 — разрешающие элементы. Решени |
||||||||
ем СИСТеМЫ будут ЧИСЛа X\=d\^ |
Х2 = ^24, Х 3 = іІз4. |
|
значащие |
||||||
Замечания. 1. В условии точкой отделены верные |
|||||||||
цифры от остальных. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Напомним лравило подсчета цифр; при умножении и де |
|||||||||
лении следует сохранять в результате столько значащих |
цифр, |
||||||||
сколько их имеет приближенное данное с наименьшим |
числом |
||||||||
верных значащих цифр. |
|
|
|
|
|
|
|
||
В промежуточных результатах каждый раз оставляют две |
|||||||||
запасные цифры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение оформлено в виде табл. 3.18. Ответом будут слу |
|||||||||
жить |
числа: а0 = 1,0.215, а\ = 2,0.07, а 2 = 1,0.204. |
|
|
|
|||||
§ 3.5. |
М Е Т О Д ГАУССА |
|
|
|
|
|
|
|
|
Часто описываемый в литературе метод Гаусса |
отличается |
||||||||
от предыдущего |
лишь тем, что после каждого |
шага |
жордано- |
||||||
ьых исключений вычеркивают из таблицы разрешающую стро ку, выписывая ее отдельно.
На последнем шаге начодят значение одного из неизвест ных, а значения остальных вычисляются последовательной подстановкой уже полученных значений неизвестных в выпи
санные выражения для |
х,. |
|
|
|
|
|||
Пример |
3.6. Решить |
систему |
примера |
3.2 методом |
Гаусса, |
|||
осуществляя контроль. |
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
Составим табл. 3.19. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
' |
• •"' ' Т а б л и |
ц а 3.19 |
|
|
|
|
|
'•2 9 |
і |
Нон тр олЬ |
|
|
0= |
г |
г |
-/ |
га |
ч |
|
|
|
0 = |
Ч |
3 |
- / |
г |
в |
|
|
|
0= |
8 |
5 |
-з |
ч |
/г |
-2 = |
/2~8-5-(-3)-Ч |
|
0= |
3 |
3 |
-г |
г |
6 |
о=б-з-з-ы)-г |
|
|
)
|
|
і'о= |
юав |
- |
5,80, а, + 21,74.00аг- |
|
о_зз. |
|
|
|
ТйБПиЦб |
3J8 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 0= |
-5jg0,a0 |
+21J9.Q0CL, - |
42,1.66 |
а г |
- |
6,5.26 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
о=21,74.зоас- |
42,і.бба(ч-121,501 |
|
аг |
- |
17,1.55 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
-а. |
|
|
|
і |
|
~ а < |
|
|
|
|
С 8. чл. |
|
|
\і |
||
0=1 |
|
Е Ш 2 |
|
|
|
! |
|
5,80. |
|
-21ЦОС |
-о,зз. |
25, 6/. 00 |
|||||||
|
| |
|
5, SO |
|
|
[ |
- гі, |
г</. оо |
|
4£1.66 |
-6,5.26 |
-32, 75.2 |
! |
||||||
о-- І |
-гі,7Ч.оо |
|
| |
|
42, 1. 66 |
|
-12 |
5,01 |
-17,1.55 |
85,3.20 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Св. чл. |
|
|
|
|
<*о = |
|
|
5,80. (-Ю) |
|
=-0,58.0 |
|
\ (-21,74.00):(-ю)=2,174.00 |
• |
(-0,35): но) ~ о,озз. |
25,6/,00:(-/о)= -2, 56/. оо |
|||||||||
о |
|
|
3J£4G |
|
|
|
\ |
|
|
|
|
-гге.,09 |
|
-is. іч _ |
|
I4B..S4 |
|
|
|
-21,79.00-15,80. • 5,80)^-/0)=-13,37.601 |
42,166-[(-21,74.00).5Mf-/0)^2S,5-.6,SІ'•.26-К-0,33) • 5,80]:(-/0)= -6,717 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
^1)36,40 |
|
I |
|
|
|
|
f2,6.0S |
|
0,19.14 |
|
-32/5,2-(2S,t>/.00-5JO):(-10}r-rZ!.n |
||||
|
|
|
-/26.,09 |
|
|
' |
|
|
|
|
чгг^е |
|
Г,1.74 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-121,5.оі-[(-гі7Щ(-гід^о)$гЩ -м**$і5з)НШ«№Ф-/б. чм |
|
|
|
||||||||
|
|
42, Ш-[5,80 {-21,74.00)];Н0)=2Э,5,57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
12,6.09 |
|
|
|
|
|
|
-4~Z26\22 |
Ґ |
-0,71.74 |
|
&3?20-[25.Ш0-(-2/, 74.00)):(-Ю)=282.4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
-а, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
чл. |
|
|
zz |
|
|
|
|
|
J 4,2.5? |
|
|
|
|
|
|
|
- SS. 7.S< |
|
|
€1,4.02 |
|
|
|||
|
|
-0,5,80 -(29,557- 2,17400) |
.(-74,2.38)=0,285.55 |
0 033. -[(-16,4.38)•<, |
74,00):(-74,2.38)=- 0,448.Зг -2,56/. 00-(28,2, 44-2,174.00): (-74^.38;= -£733.90 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
-0J6S.S5 |
|
|
|
|
|
-485.,86 |
|
|
|
-0,127/0 |
|
|
||
|
|
|
6ГЛ.,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S34..8I |
|
|
|||
0 = -18,37.60-(29. 557-29, 557): (- 7fJ. 38) =(- |
6,Ш |
|
-<$, 7l7-[(-/6,4.38}29 iS7]:(~ |
74,2.38)=-15,2.62 |
-17,898-(28,2 44-25,5,5?)/(-74,2.38)= |
-6,6.55 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
-117.68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-112.45 |
|
|
|
°*' |
29, S. 57; (-74, 2.38)= |
- 0,398.14 |
|
|
|
|
(-16, Ч. 38): (- 74,2 58) = 0,221. *2 |
28,2.44:(- 74,2.38) = -0,380.45 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
70 |
|
С 8. |
чл. |
|
|
|
|
-11.16 |
|
|
|
||
|
|
|
|
-S, |
?в, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ц А |
|
-0,448.37-[(-13,2.62)•0,285.55):(-6,6.08) = |
-1,02/5 |
-/,753.90-1(-6,6.53У 0,285.55J/(- 6,6.08) =-2,00.78 |
|
|
|||||||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
o7sr.s/~ |
|
|
|
|
|
|
|
0,27.39 |
|
|
||
41 |
|
|
(-15,262): (-6,6.08) = |
2,о.ог |
|
|
(- 6, 6.53) : (- 6, 6.08)- |
1,0.07 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
SJH.Q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
6.49 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
Q221.42-lc/J,2.62X-QJS8,r4)J^6,6.08)= і 02.04 |
(- 0, J80.45)-[(-6,6.5JJ-(- ft398.ту. (-ЄЛ08)=0,02.04 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
-0,?9.90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,40.09 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сделав шаг жордановых исключений с разрешающим эле ментом ЙІ4=1 и вычеркнув разрешающую строку, получим табл. 3.20.
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.20 |
|
0 |
-/ |
|
Кон |
т |
роль |
|
|
-г |
-г=о-(-о-1+ы) |
|||
0 = 0 |
- J |
|
-V - 2 = |
|
0-(-Ъ)-1+(-Ч) |
|
0 - |
-/ |
-/ О |
1 |
С S• o = |
|
-(-t)-(-l)-0+(-2) |
|
|
|
|
|
|
|
Записав |
отдельно |
разрешающую |
строку 0 = —2х\—2хч + |
|||
+ х3—Х4 |
+ 4, из нее получаем |
|
|
|||
|
|
|
|
2 х. 2 х2 |
+ х3-\- 4 |
|
Следующий шаг произведем с разрешающими первой стро кой и третьим столбцом. После вычеркивания разрешающей строки 0 = х2—x-i—2 получим табл. 3.21.
|
|
|
|
Таблица 3.21 |
-X, ~У-г |
J |
|
Контроль |
|
і |
|
|||
о -г - 2 |
0- |
|
о - ( - 2 ) + ( - 2 ) |
|
0 = -/E7J - 2 |
0 |
= |
-(-/)-(-t)+(-2) |
|
Из разрешающей строки имеем
—х>) - 2 •
Кпоследней таблице применим шаг жордановых исключе ний с разрешающими второй строкой и вторым столбцом. Окончательно получим табл. 3.22.
Таблица 3.22
|
-Xj |
1 |
Контроль |
о |
2 |
I 2 |
ІО--2+2 |
