Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Так как разрешающей строкой была						0 = Х)-\-Х2—2,		то име
ем *2 = 2—Х\, а из		последней			таблицы	получаем	0 = —2х\ + 2
ИЛИ Х\ = 1.				хі
Подставляя	значение				в выражение для х2 ,			получаем
Л'?=1 и д а л е е х 3	= — 1 и х 4			= — 1.
Замечание. Если коэффициенты уравнения выражены гро
моздкими числами,		то	следует делать			проверку	при методе
Гаусса и при обратном			ходе, т. е. надо			подставлять		Xi = Xi—1

в соответствующие уравнения контрольной системы:

0 = — 2Х[ — 2х2 -4- х3 — х4 ,

0 =

х{ + х2 ,

О — — 2x~j ,

откуда х\ = 0, х 2 = 0, х3 =—2, х4 = —2.

КО Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

1.Что представляет собой шаг жордановых исключений?

2.Сформулировать правила для осуществления одного ша га жордановых исключений.

3.Как решить систему линейных уравнений методом жор дановых исключений?

4.Можно ли применять метод жордановых исключений для несовместных систем и систем с бесконечным множеством ре шений?

5.Как можно осуществить контроль вычислений?

6.Расписать порядок решения системы трех линейных урав нений с тремя неизвестными в случае единственности решения методом жордановых исключений.

7.В чем состоит отличие метода Гаусса от метода жорда новых исключений?

Г л а в а 4

СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Постановка задачи. Рассматриваются две переменные ве

личины	х и у, связанные некоторой функциональной			зависи
мостью	у = •?' (х).	Если для п заданных значений переменной
х ( х ь х2,...,хп)		получены	экспериментальные	значения

у(У\,	У2, • • • ,Уп)>	т о в силу неизбежных ошибок измерений воз
никают случайные		отклонения значений у,- от истинных зна
чений	(х[) (рис.	4.1).

Задача состоит в получении такого аналитического пред

ставления		функции у =	ср (х)	на	отрезке	[х,;	хп],	которое
окажется достаточно точным в некотором заранее							обусловлен
ном смысле.			в главе 5,					п
Как	будет показано				через	любые			точек
(хь у\),	(х2 ,	Уг), • • •,	у„)	можно	провести кривую,				пред-

ставляемую аналитически многочленом (п— 1)-й степени. Од нако интерполяционный способ нецелесообразен в данном слу чае по двум причинам: во-первых, если п велико, вычисления громоздки; во-вторых, интерполяционный многочлен, проходя через точки (#(, у-), не сгладит, а учтет ошибки измерений (рис. 4.2).

Ри с . 4.2

Вряде задач по характеру самой задачи или непосред ственно по расположению экспериментальных точек известен вид функциональной зависимости у ==»(#), и из опыта тре буется определить параметры этой зависимости.

Например, если конденсатор, заряженный до напряжения Uо, разряжается через сопротивление, то согласно теоретиче

ским	данным, зависимость напряжения				от времени должна
иметь	вид	U — 67 п e~at,	где параметр	а	следует определить,
основываясь на результатах измерений					(/,-,	U{), / =	1, 2, ... , h.
Другой пример: на рис.			4.3 на график нанесены эксперимен
тальные точки. По их расположению				естественно			предполо
жить,	что	зависимость	у — ъ (х) должна			быть	линейной
у — ах + Ь. Остается определить параметры а и Ь.

Метод наименьших квадратов применяется для определе ния неизвестных параметров заданной функциональной зави симости

J/ = ? (х,	а0,	а, , . . . ,	ат)
с помощью экспериментальных		данных.
Параметры а0, а\,...,ат	необходимо		определить так, что

бы найти наилучшее представление данной зависимости, сгла див случайные отклонения. Решение этой задачи зависит от

того, какой смысл вложить в понятие «наилучшее представ ление». Так как случайные отклонения связаны с ошибками измерений, то с вероятностной точки зрения можно обосновать

X, X}

Р и с . 4.3

следующий критерий точности: нужно выбрать параметры функции

			?	(х,	а0,	а,	ат)
так, чтобы сумма квадратов отклонений								экспериментальных
значений	УІ	от значений			функции		'•?(*„ а0, а.\,...,ат)			была
минимальной, т. е. нужно найти такие значения									о0 , fli,...,	ат,
при которых функция					п
F(a0,	а,	,	ат)				* (х„	а0,	ат}\2
				=	V	[у,- -				(4.1)
имеет минимум.
§ 4.1. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е			П А Р А М Е Т Р О В				Ф У Н К Ц И О Н А Л Ь Н О Й
З А В И С И М О С Т И ПО М Е Т О Д У Н А И М Е Н Ь Ш И Х К В А Д Р А Т О В