Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

dF

J^L- = 0, k = 0, 1, 2 ,m, (4.2) aak

так как по смыслу задачи очевидно, что функция F(a0,

«,,...,«,„)

может иметь только минимум:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OF

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= V

 

— 2 [у, -

о (*(, а0 ,

а,

rtffl)|

 

X

 

 

 

 

 

 

a?

(х„ a 0 ,

—

a j

 

 

 

 

 

Условия

(4.2)

принимают

вид

 

 

 

 

 

 

 

я

[у, -

» (*„ «,„

а „ . . . ,

a j ]

М

^

о

^

^

О

 

 

V

=

Q i ( 4 > 3 )

 

 

 

 

 

(Л

=

0,

1,

2

 

т) .

 

 

 

 

 

Таким образом, получена система т уравнений для опре­

деления т

неизвестных

аи

о 2 , . . . ,

ат.

 

 

 

 

 

 

 

Если функция

 

's

(х, йо,..., ат)

линейна относительно па­

раметров, т. е .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<р

(х, а0

, . . . , ат)

=

я 0 ©0 {х)

+

а, ?

1 (х) +

. . . - f am

<p„ (х) ,

то система

(4.3)

также

линейна

относительно

неизвестных

ЙО, а\, а2,...,

ат

и может

быть решена

одним

из

методов ре­

шения

алгебраической

линейной

системы уравнений.

§

4.2. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е

П А Р А М Е Т Р О В

П А Р А Б О Л Ы

 

 

 

 

В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А М Е Т О Д О М Н А И М Е Н Ь Ш И Х

 

 

 

 

К В А Д Р А Т О В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть функциональная зависимость у от х

представлена

многочленом второй

степени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

а0

- f

ах

х

-+ а2 х- .

 

 

 

(4.4)

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

дев

 

 

^

 

дъ

 

_

х

_t^p

^

^2

 

 

система (4,3) принимает вид:

 

У [Уі -

Oh

+

<*i *i +

a2

x2')] = 0 .

 

 

V

[УІ

-

К

+

a-i xt +

a,

x2 )] x< =

0 .

(4.5)

 

V!

[Уі — («u +

«і ** + a,

x2 )]

x2 =

0.

 

Введем

обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= V xs. ,

 

s = 1, 2, 3, 4 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.6)

[у]

=

У у і.

[*у] =

У *< Уі. I * 2

.уі = У 4 >'<• •

 

 

 

 

 

 

 

/=і

 

 

 

 

 

 

После

вычисления

этих величин,

система

(4.5)

принимает

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

па0

+

\х]

ах

+

[х2]

а,

=

[у]

,

 

 

 

\х]

а*+

 

[дг'-J

а,

4-

[х3]

а2

=

[ху]

,

(4.7)

 

 

[х2] я0

+ [х3] Я ! + [*4] а 2

= [х2 у]

 

§ 4.3. О Б О С Н О В А Н И Е М Е Т О Д А

Статистически установлено, что случайные ошибки измере­ ния подчинены нормальному закону распределения вероятнос­ тей. Поэтому, если Yt — случайная величина — результат из­ мерения в г-м опыте, то ее плотность распределения имеет вид:

//(У) -

2°1

otV2r.

\где

з( — среднеквадратичное отклонение, характеризую­ щее точность измерения;

<р (Х() — математическое ожидание (истинное значение функции у = 'f(л") при г'-м измерении).

В результате п

измерений каждая

из случайных

величий

У,• приняла

значения у,

( / = 1 , 2, ... ,

п).

Ставится

задача:

подобрать значения

? (xt)

так, чтобы

вероятность

события

была максимальной.

 

 

 

 

Так как

К/— непрерывные случайные

величины, то мож­

но говорить лишь о ненулевой вероятности попадания их в ин­

тервал (yt, УіЛ-dyi),

і=\,2,...,п.

Считая, что а, = а,

/ = 1, 2 , п и измерения независимы,

находим

 

^ { У І О І < У . + ^ У І ; > ' 2 < ^ < > ' 2 + ^ ; •• • ; у л < к я < у д + 4 у я } =

= П р (У* <

г, <

У у +

<іУі) =• П Л

0',-) <*у/ -

і = і

 

 

/ - і

 

 

 

- Л -

V [.v-?(.r.)]= /.

 

.

- : ,

Є

П

dVt .

У 2г.

 

 

'

Эта вероятность является максимальной, если Ф ( Х ; ) тако­

вы, l tTO

я

V [у,- — ? (х,)]2 минимальна. Г"т

§ 4.4. В Ы П О Л Н Е Н И Е Л А Б О Р А Т О Р Н О Й РАБОТ Ы

К порядку выполнения. Экспериментальные данные в ко­ личестве десяти точек содержат два-верных, десятичных знака. Вычисления размещаются в таблице, где последовательно вы­ числяются значения

 

 

х% х\,

X*,

xt

у і,

х\

ус ,

 

 

которые затем суммируются для получения

коэффициентов

системы

(4.7).

 

 

 

 

 

 

 

Во всех промежуточных вычислениях во избежание потери

точности следует оставлять кроме верных цифр

две запасные

сомнительные. Например,

если

х = —2,30 (три

верные знача­

щие цифры), а у =—0,33 (две

верные

цифры),

то в столбцах

х-.,

х],

х* будет по три верных

цифры,

а в столбцах х, у,

и

х? у і

— по две. После последней

верной

цифры оставляем

две

запасные, отделяя их точкой. Составляем табл. 4.1.

і

х і

Уі

 

х1

 

 

Х\

 

А

 

х і УІ

 

А . 7

1

- 3 , 0 0

2,20

9,00

00

• - 27,000

 

81,000

 

- 6 , 6 0

- 00

 

19 8 - 00

2 ,

- 2 , 3 0

- 0 , 3 3

5,29

• 00

 

-

12,167

 

27,9 • 84

 

0,75 • 90 - 1 . 7 .

46

3

- 1 , 6 0

- 1 , 6 2

2,56

• 00

'

—

4,09 • 60

6.55 • 36

2,59 - 201 - 4,14

• 72

4

- 1 , 2 0

- 1 , 9 8

1,44-0)

 

- -

7,72 • 80

2,07 • 36

2,37 • 60 - 2 , 8 5

• 12

5

- 0 , 7 0

- 1 , 8 8

0,49

- 00

 

-

0,34 • ЗО

0,24 • 01

1,3-

16

- 0 , 9 2

• 12

6

- 0 , 1 0

- 1 , 2 0

0,010 • 00

 

 

0,0010-0

0.00010

 

0,12-00

-

0.012 - 01

7

0,30

- 0 , 3 2

0,090 • 00

 

 

0,027

00

0,0081

-0

- 0.096 • 00

-

0.028 • 80

8

0,60

0,57

0,36

• 00

 

 

0 2 1 - 6 0

0,12 • 96

0,34 - 20

 

0,20 • 52

9

0,90

1,60

0,81

• 00

 

 

0,72 • 90

0,65 • 61

1,4-40

 

1.2 • 96

10

1,30

3,29

1,59

- 00

 

 

2,19 • 70

2,85-61

4,27 • 70

 

5.56

•01

 

\х] =

 

 

 

 

 

i-v'l •-=

 

\хЦ ----

 

к у |

=

 

І**у]

 

 

= - 5 , 8 0 =0,3 3

= 21,74-00

=

- 4 2 , 1

• 66

-- 121,5 - 01

= 6 , 5

- 26

- 1 7 , 1

: 55

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

Система (4.7) принимает вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 а0 — 5,80.^

+

21,74.00 а,

= 0,33 ;

 

 

 

-

5,80.а0 -+ 21.74.00 а, -

42,1.66 а,

^

6,5.26 ;

 

 

 

 

21,74.00 0 0 -

42,1.66 0,, +

121,5.01 а,

=

17,1.55 .

 

 

 

 

Решение этой системы изложено в предыдущей

главе.

 

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

1.В каком случае может быть применен метод наименьших квадратов?

2.Каков критерий точности метода?

3.Какова математическая схема применения метода?

4.Каков результат применения метода для линейной отно­ сительно параметров функции?

Г л а в а 5

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Постановка задачи. В инженерной практике часто встре­ чаются функции, заданные или слишком сложным аналитиче­ ским выражением, или таблично. Возникает задача о замене этих функций такими, которые имели бы достаточно простое аналитическое выражение, и в рассматриваемом интервале из­ менения аргумента достаточно мало отличались от заменяе­ мых.

Процесс замены на каком-то интервале изменения аргумен­ та одних функций другими называется общей задачей интер­ полирования.

В данном интервале изменения аргумента заменяемые функции будем рассматривать непрерывными, однозначными и меняющимися не слишком быстро. Одним из самых распро­ страненных способов интерполирования является интерполи­ рование полиномами, или иначе называемыми параболами п-й степени:

 

 

 

 

 

 

п

 

Рп (х) = ап х" +

a„_i х"-1

+ . . . + а,х

+ а0=

У akxk.

(5.1)

Для того чтобы полином (5.1) на заданном интервале воз­

можно меньше отличался от данной функции

 

 

 

 

 

у = / ( * ) ,

 

 

(5-2)

требуют, чтобы

полином

(5.1)

и заменяемая

функция

(5.2)

равнялись друг другу

при

заранее назначенных

п+\ значени­

ях аргумента х0,

х{,...

,хп,

т. е. чтобы

 

 

 

Рп (*/) =

/ (*/) =

У, ,

і •= 0, 1

, п .

(5.3)

Геометрически нахождение интерполирующей функции сво­ дится к проведению такой кривой, которая совпала бы с дан­ ной в назначенных п+1 точках (рис. 5.1).

Смотрите также файлы