Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Описанный способ интерполирования называется парабо­ лическим точечным интерполированием, а выбранные точки M i (xf, Vі) — узлами интерполяции. Увеличивая на данном интервале число узлов (а следовательно, степень интерполя­ ционного полинома), в подавляющем большинстве случаев можно добиться в этом интервале лучшего совпадения данной функции и интерполяционного полинома.

Условие, что полином (5.1) берется л-й степени, т. е. С /1 + 1 коэффициентами, и должен совпадать с интерполируемой функцией (5.2) в д+1 - й точках, выбирается из соображений, чтобы коэффициенты полинома определялись однозначно.

§ 5.1. И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Й П О Л И Н О М Л А Г Р А Н Ж А

 

 

 

Чтобы полином (5.1) удовлетворял условию (5.3), Лагранж

предложил искать полином в виде:

 

 

 

 

 

Рп

(х) ~

У

У і Q<

(х) ,

 

(5.4)

іде

Q'n(x)

— так называемые

фундаментальные

многочлены

/.'-й степени, обладающие

свойством:

 

 

 

 

 

 

 

О,

і ф

k ,

 

(5.5)

 

 

Q'„ (**)

=

і,

і

k.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из ЭТОГО УСЛОВИЯ При

/' Ф k

Следует, ЧТО ТОЧКИ Х0,

X\,...,Xi-\,

Хі.

і , . . . , хп являются

корнями

многочлена Q'„(x).

Следова­

тельно, этот многочлен можно записать в виде:

 

 

Qj,

(*) =" Ci

( * ~ *иМ* -

* д ) . . . (x-Xi-i)

(X — Xi : і)

. . . (X — Xn).

 

Это же свойство

(5.5) дает:

откуда

 

Г;

(Хі — Х „ ) ( X ; —

Х ; ) . . . ( Х ; — Хі- ) ) ( Х ; — Xi + l) . . . ( X ; — Х „ )

 

Подставив найденные фундаментальные многочлены в фор­ мулу (5.4), получаем полином Лагранжа в виде:

=_

v v

(Х-х»^х~х^---(х-*'-1)(*—*<11)•

• • (х-хп)

. (5.6)

 

/==0

(xi-xl)){xl~xl)...(xl—xi.-i){xl—xi..i)...(xi—xn)

 

 

 

 

 

 

Пример 5.1. Построить интерполяционный полином

Лагран­

жа

для

функции г/ = 1пх с узлами

интерполяции

в точках

х= 2, 3, 4, 5.

Ре ш е н и е . Из таблиц логарифмов выписываем значения функции в узлах интерполяции (табл. 5.1).

 

 

 

 

 

Таблица 5.1

Хі

Х о

2

х1 = '3

х 2 ••- 4

х3 = 5

Уі =- і11 Xj

0,6931

1,0986

1,3863

1.6094

В данном примере я = 3, поэтому по формуле (5.6) получаем

Ръ

(х) = 0,6931

 

(х - , 3 ) (х — 4)

(х — 5)

 

(2

-

3) (2 - 4)

(2 -

4) +

 

 

 

 

 

 

 

+

1,0986

•

-

(х -

2) (х -

4) (х - '

5)

 

 

(3

- 2 ) ( 3 .

- 4 ) ( 3 - 5 )

+

 

+

1,3863 •

-

(* — 2 ) (х — 3) (х -

5)

+

 

(4

-

2) (4 -

3) (4 -

 

5)

 

-Ь

1,6094

 

(х

-

2) (х -

3) (х -

4)

 

 

 

 

(5

-

2) (5 -

3) (5 -

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

=

0,0089 Xі

-

0,1387 х 2

+ 0,9305 х

-

0,6841

§ 5.2. Д Р У Г О Й В И Д И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н О Г О П О Л И Н О М А

Л А Г Р А Н Ж А

При теоретических расчетах пользуются формулой (5.6), а для практических расчетов применяют полином Лагранжа в

другой форме. Для ее получения рассмотрим

полином

I I (х)

степени п + 1 , определяемый

равенством

 

 

 

 

 

II

(х) е. (х — х0 )

(* — * , ) . . . ( * — х„) .

 

Очевидно, что производная будет иметь вид:

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

П'(х)

= У

(х-х0)

(х—х{).

.. (х—ХК

і ) [х-х„,л)...

 

(х~хп).

Ее значение в точке х1 равно

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

п ' 0<) = У

(х—х0)

(Хі—xJ

...(xi—xk-i)(xl-xk.;i)...{xi—xn)

*=

= (Xi -

Х0) (Х/ — X,)

. . . {Xt

— Xi-i) [xt

— x i + l

) .

. . (xt -

x „ ) ,

т. е. знаменатель в /-м слагаемом в формуле (5.6)

равен

1Г (х,).

Выражение в числителе в этом же слагаемом можно выразить

тоже через I I (х):

 

(х—х0) ( х - х , ) . . . ( х ~ х / _ , ) ( х - х / , ,) . . . ( * - * „ ) _ = — П ^

.

Тогда полином Лагранжа можно записать в виде:

 

'

W = | * (х - " , ) 1 г W •

( 5 ' 7 )

Пример 5.2. Построить полином по формуле (5.7), прохо­ дящий через узлы М 0 (1; 2), Мі (3; 1), М2 (5; 8).

Р е ш е н и е . Имеем:

х0 ^ 1,

х, =

3,

х., =

5,

 

уо =

2,

y t

=> 1,

у 2

.= 8,

я = 2 .

 

 

П ( х ) =

( х ~

1)(х

-

3)(х -

5),

 

 

 

р ( х )

- о

( * - 1 ) ( х - 3 ) ( х - 5 )

 

 

і

2

{Х)

-

z-

 

 

 

 

_ з ) ( і

_ 5 )

1

 

,

і

(х

-

1)

(х

-

3)

(х -

5)

 

 

 

 

 

 

• > - 3 " ) t ( 3 - 1) (3 —5)

 

 

 

о

( * - 1 ) ( л с - 3 ) ( х - 5 )

 

.

2 _

9

, Л _ .

'

(•* -

 

5)

(5 -

1) (5 -

3)

~

*

2 Х

^

2

6 Зак. 428.

81

Формулы (5.6) и (5.7) годятся как для равноотстоящих значений аргумента, так и для неравноотстоящих. Однако по­ строение интерполяционного полинома Лагранжа требует больших вычислений и оценить по самой формуле точность результата невозможно. Если же для повышения точности на­ до повысить степень интерполяционного полинома, то это нель­ зя сделать прибавлением дополнительных слагаемых, а при­ дется все коэффициенты пересчитать заново. Только для рав­ ноотстоящих значений аргумента более удобными являются формулы Ньютона, основанные на исчислении разностей. А применение формул (5.6) и (5.7) оправдано только для тех случаев, когда значения аргумента даны через неравные ин­ тервалы и потому применение более простых с вычислитель­ ной точки Зрения формул Ньютона невозможно.

§ 5.3. Р А З Н О С Т И Р А З Л И Ч Н Ы Х П О Р Я Д К О В

Пусть г/о, у и у2, • • • ,Уп

• • • —

значения некоторой функции

(5.2)

соответственно

при

равноотстоящих

значениях аргумен­

та х0,

Хи х2,

. • •, хп, ...

, (хп

== х0

nh).

Тогда

разности

Уі -

>'0 -

А У 0 . У і -

Уі =

А У і . • •

• • Уа

-

У я - 1

= • АУп-1

называются разностями первого порядка или просто первыми разностями.

Разности первых разностей называются разностями второ­ го порядка, или вторыми разностями, и обозначаются следую­ щим образом:

ЬУі - А Уо = Д2Уо> А Уз - А Уі = Д'Уі

Аналогично определяются последующие разности. Так, раз­ ности (п+\)-то порядка получаются из разностей п-то поряд­ ка по формулам:

А" у : — А" у„ - А» ' 1 у0 ; А"у, — Д " ^ = Д«+і У і , . . .

Таблица разностей строится согласно схеме (табл. 5.2). Каждое число этой таблицы есть разность двух смежных

чисел столбца

слева.

 

 

Производя

последовательные подстановки, можно пока­

зать, что

 

 

 

 

_

Д'Уо =

У-г -

2ух

+

Уо ;

д ; ! Уо =

Уз -

Зу3

+

3j/! — Уо ;

Смотрите также файлы