Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

суммы функций равна сумме разностей слагаемых и что посто­ янный множитель можно выносить за знак разности:

Ясно, что свойства 1 и 2 имеют место для разностей любого порядка.

Первая разность от многочлена степени п является много­

любого многочлена. Отсюда вытекает следующее свойство: 3. Разность порядка п от многочлена степени п равна по­

стоянной величине и, следовательно, все разности более высо­ кого порядка равны нулю.

Рассмотренные три основных свойства разностей аналогич­ ны соответствующим свойствам производных и дифференциа­ лов.

Считая функцию f(x) дважды непрерывно дифференцируе­ мой, применим два раза правило Ло'питаля при постоянном х и переменном h:

,. А3 у ,. 2/' (х + 2А) - 2/' (х + h)

- lim [2/" (x 4- 2A) — / " (x + h)\ = /" (x) . Аналогичноft-*0 доказывается свойство 4 и в общем случае.

Свойство 3 позволяет по таблице разностей функции судиґь о наивыгоднейшей степени заменяющего функцию интерполя­ ционного полинома.

Действительно, если разности порядка п функции (5.2) поч­ ти постоянны, то можно считать (5.2) мало отличающейся от многочлена степени п и заменять ее многочленом именно такой степени.

Пример 5.3. Составить таблицу разностей функции (5.2) по данным табл. 5.3.

Выяснить наиболее подходящую степень соответствующего интерполяционного многочлена.

Р е ш е н и е . Составляем табл. 5.4.

Таблица 5.4

Функцию (5.2) заменяем многочленом третьей степени, так как разности третьего порядка постоянны.

Пример 5.4. Выяснить наиболее подходящую степень ин­ терполяционного многочлена, предназначенного для представ­ ления функции, заданной табл. 5.5.

fix) 7,50 6,50 5,50 4,50 3,60 2,70 2,00 1,'Ю

Р е ш е н и е . Составляем табл. 5.6 разностей. '

Выбираем в таблице столбец, разности в котором с наи­ большим основанием могут считаться постоянными. При этом разности следующего за ним столбца должны быть близки к нулю. Такими столбцами в данном случае являются А-у й Д3 у. Поэтому функцию следует заменить многочленами второй сте­ пени.

Замечание. Обычно у функций, полученных эмпирическим путем, разности низших порядков меняются закономерно и с повышением порядка приближаются к постоянным. Но, миноЕЗВ столбец, где они ближе всего к нулю, разности теряют вся­ кую закономерность и начинают быстро возрастать. Это объяс­ няется неизбежными ошибками; содержащимися в значениях самой функции, а также погрешностью, накопляющейся в про­ цессе составления таблицы.

Практическую ценность имеет та часть таблицы, где харак­ тер изменения разностей является плавным и закономерным.

/ (значения lg sin х взяты из семизначных таблиц логарифмов). 1

I

Как видно из таблицы, функцию igsinx можно с хорошей точностью заменить многочленами второй степени, так как раз­

ности второго порядка практически постоянны.

§ 5.4. П Е Р В А Я И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н А Я Ф О Р М У Л А Н Ь Ю Т О Н А

Пусть для функции (5.2) заданы значения vf r = / (хк) для равноотстоящих значений независимой переменной xk = x0 -f&/z (/? = 0, 1,2,..., п). Число h называют шагом интерполяции.

Будем искать интерполяционный полином (5.1), удовлетво­ ряющий условию (5.3), в виде: