Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда

Так как при х =

х2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уг =

Уо + -^Р-

(х-2

— хо)

+

аа

О,

-

хп) (х.

 

 

 

 

 

~h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а., —

У2

-

Уо -

2Ау0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2А

• /г

 

 

 

 

 

 

а подставив

 

Д у 0 = у , —j ' 0 .

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у,, — 2yt

+

у0

^

_ А2

Уо

 

 

 

 

 

 

 

 

2й2

 

 

"

~2

ГЛ2"

 

 

Последовательно продолжая этот процесс, находим

 

 

 

 

Л*Уо

 

k = 0,

 

1/2

 

, п

,

 

 

 

 

 

ft!.А*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Д° уо =

 

у0 .

 

 

значения

коэффициентов

в (5.9),

Подставляя найденные

получаем интерполяционный полином

Ньютона:

 

 

рпw

-Уо + r h

( х

" Х о )

+

~ 2 ч ? ~ ( х ~ Х о ) ( х ~ X i ) +

+

• • • +

 

-jjjpr

(*

— *о)

(*

~

 

 

 

~ Хк-,)

•+

. . . -+

 

'

Л

Й -

( х — х о)

(х

— *,)

. . . (х

 

— х„-\)

•

(5.10)

 

 

п

! Л"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этой формулы видно, что в отличие от полинома Лагранжа, в котором каждый член зависит от всех узлов интерполя­ ции, любой ft-й член полинома Ньютона зависит только от k первых узлов интерполяции. Таким образом, добавление новых узлов интерполяции вызывает в формуле (5.10) лишь добавле­ ние новых членов без изменения первоначальных. Это является существенным преимуществом полинома Ньютона по сравне­ нию с полиномом Лагранжа.

Пример 5.6. Построить полином Ньютона в условиях при­ мера 5.1.

Р е ш е н и е . Используя условие, составляем табл. 5.8 раз­ ностей.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5.8

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

X

у

Ду

Дг у

 

 

 

2

0.С931

 

 

 

 

 

 

3

0,4055

— 0,1178

 

 

1,0986

 

 

 

 

0,2877

 

 

0,0532

 

 

4

1,3863

 

— 0,0646

 

 

 

0,2231

 

 

 

 

 

5

1,6094

 

 

 

 

ТакЧкак л = 3, h — 1, по формуле

(5.10)

получаем

 

 

 

 

 

О

1178

Р3 (х) = 0,6931 +

0,4055 (х -

2) -

 

 

(х - 2) (х — 3) -[-

О

0^3 9

 

 

 

 

 

 

+

' в

(лс -- 2) (х — 3)

( х - 4 ) =

-

0,6841 + 0,9305 х —

-0,1387 х2 + 0,0089 х 8 .

Как и следовало ожидать, полученный полином Ньютона в этом примере и полином Лагранжа в примере 5.1 совпали друг с другом. Это справедливо и в общем случае в силу единствен­ ности интерполяционного полинома данной степени.

Для практического использования формулу Ньютона (5.10) обычно записывают в несколько, преобразованном виде. С этой

целью вводят новую переменную t по формуле

 

 

/ • = _ Ц і і о . ,

 

 

(5.11)

где t — число шагов, необходимых

для достижения

точки X,

при начальной точке х0 .

 

 

 

Тогда

 

 

 

(х — х0 ) (х — х,) . . . (х — xk-i) _

х — х0

' х — хц

— h

h"

h

h

 

. . . J ? L Z - ^ L ( * _ - . L ) A = / (t -

l ) . . . (t - k f 1) ,

k = 1, 2

n

Подставляя'эти

выражения

в формулу

(5.10), пoлy^[ae^f

Р, (х) fc, Р. (ха +

til)

= у,

+

/Ду„ + - ^

7 —

42У« + • • • + .

+ - ,

« - » - к

\ ,

- к

± » - » у , +

. . . +

+

' " - " • • J f

- 1 + - 1 L 4 . y „ ,

( 5 , 2 )

Формулу (5.12) называют первой интерполяционной фор­ мулой Ньютона, где t вычисляется по формуле (5.11). Форму­ лу (5.12) выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения х0, где t мало по'абсолютной величине.

Если в формуле (5.12) положить и = 1, то получим формулу линейного интерполирования:

 

Рі(х)

= Уо +

"Уо •

 

(5.13)

При п = 2 получаем формулу параболического вдш квадра­

тичного интерполирования:

 

 

 

 

Р,

(х) = ><„ +

а У о

+

t ( t ~ 1 } tfy„ .

 

(5.14)

Пример 5.7. В приведенной ниже таблице даны

значения

интеграла вероятностей

 

 

 

 

 

 

 

9

Р

 

 

 

 

 

V

г. ]

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

Применяя формулу (5.12), приближенно найти Ф

(1',43).

Р е ш е н и е .

Дополняем

заданную таблицу

разностями

функции до третьего порядка

включительно. При этом, чтобы

в записи избавиться от десятичных нулей, значения

разностей

умножаем на 104 (табл. 5.9).

 

 

 

 

За Хо принимаем ближайшее табличное значение к искомо­ му значению х =1,43, т. е. полагаем л:0 =1,4. Так как h = 0,1, то

1 , 4 3 - М _ _

1

o.i

~

Подставляя / в формулу

(5.12), получаем

 

 

Ф (1,43)

0,9523. + 0,3 • 0,0138 +

° ' 3

(

^ ~

1 } (-0,0036) 4-

+

Q . 3 ( 0 , 3 - 1 ) ( 0 , 3 - j ) . 0 0 0 0 9

=

0

9 5 б 8 6

^ 0 9 5 6 g

 

 

 

 

 

о !

 

 

 

 

 

 

 

(Табличное значение Ф

(1,43) =0,9569).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5.9

 

 

 

 

X

У

Ду

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0

0,8427

375

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,8802

 

— 74

 

 

 

 

 

 

1,1

301

 

 

10

 

 

 

 

1,2

0,9103

 

-

64

 

 

 

 

 

237

 

 

10

 

 

 

 

1,3

0,9340

 

-

54

 

 

 

 

 

183

 

 

9

 

 

 

 

1,4

0,9523

 

-

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

138

 

 

 

 

9

 

 

 

 

1,5

0,9661

 

 

-

36

 

 

 

 

 

 

 

 

102

 

 

 

 

9

 

 

 

/

1,6

0,9763

 

 

— 27

 

 

 

 

 

/

 

0,9838

75

 

— 22

'

5

 

 

 

 

1,7

53

 

 

6

 

 

 

 

1,8

0,9891

 

—

16

 

 

 

 

 

37

 

 

4

 

 

 

 

 

0,9928

 

—

12

 

 

 

 

 

1,9

25

 

 

 

 

 

 

 

2,0

0,9953

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

§ 5.5.

ВТОРАЯ

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н А Я Ф О Р М У Л А

Н Ь Ю Т О Н А

 

Поскольку при интерполировании вблизи конца таблицы в

формуле (5.І2)

/ не мало, то формула

(5.12)

в этом

случае

практически

неудобна. И при интерполировании вблизи

конца

таблицы применяют вторую интерполяционную формулу Нью­

тона. Дл я ее получения запишем

полином (5.1) в виде:

 

 

Рп (х)

=

а0

+ а, (* — х„) -f

а2 (* -

х„) (х — *„_,) -}- .

 

+

аь (х —-х„) (х — x„-i)

(х — х„-.2) •+ . . • +

 

 

 

 

+

а„ (х — хп) (х — ха-х)

. . . (х — хх) .

(5.15)

Смотрите также файлы