Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Коэффициенты будем искать из условия

(5.3).

 

Положив в (5.15) х = хп,

имеем у„ = а0 ,

при х=.х„-\

по­

лучаем

 

 

 

У „ - 1 = УпЛ

«і (Хп-1 — хп)

,

 

откуда

 

 

 

При

х — х„-2

из

(5.1)

имеем

,

 

 

 

 

 

 

Уп-2 -

>'„ +

—

~

 

(Хп-2

~

*„) "Г Я 2

( # „ - 2

-

* я )

X

 

 

 

 

 

X ( * л - 2

— * л - і )

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у„_2 = у„

+

У ^ - У " - '

( -

 

2А)

+ а ;

( -

2А) ( -

 

h) ,

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

__

Ул — 2ул _1 +

ул _2

 

A-j/„_2

 

 

 

 

 

С* о —-

'

2 ! h-

 

 

 

2 ! А2

 

 

 

Применяя метод математической

индукции,

получаем

 

 

 

а — А* Уп~~к

 

k = О 1 9

 

 

я

 

 

 

 

 

* ~

А ! /г* '

 

 

 

 

' ' '

' '

'

 

 

 

 

Подставляя

эти значения

в формулу (5.15),

находим

 

Рп

00 = Уп +

^ т у -

(х -

*„)

+

" з Н ж "

{

х -

*"}

х

X

(X -

Xn-l)

+

— ^ T > 3 ~

(* -

*„) С* -

' « - О

(X ~

Хп-2) +

 

 

+ - - - + - * ^ ( * - * » ) • • • ( * - * • ) •

 

 

( 5 , 1 G )

Формула (5Л6) называется второй интерполяционной фор­ мулой Ньютона. Для применения этой формулы в более удоб­ ной записи в нее вводят новую переменную t по формуле

(5.17)

тогда

 

 

 

 

 

х ~

_

х - ха

+ h _

х - * я _ 2

,

А

 

д

— - f - f - І ,

^-

- f t - !

и т. д.

Подставляя эти значения в (5.16), получаем

РпЛх)

=

Уп +

аз»»..! +

-

^

Г

^

д'"' >'»-2

+

+ . . . +

і т и ± 2

І А . Л .

+

. . . +

 

+

<

( і ±

1 ^

^ 1

^

1

, .

У и

.

(5.18)

Вторую интерполяционную формулу Ньютона для практи­ ческих вычислений применяют в форме (5.18).

Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции у для значе­ ний аргумента х, лежащих вне пределов таблицы, т. е. когда х є [х0; хп]. Тогда при хе [ху ; хп] замена функции полиномом называется интерполированием в узком смысле, а под терми­ ном интерполирование понимают обе операции.

Если х<Х2 и х близко к Хо, то для экстраполирования вы-

• годно применять первую интерполяционную формулу Ньютона

(5.12), так как тогда t=

^—°- мало, причем

^<0.

Если

же

х > х 0

и х близко к х„,

то удобнее

пользоваться

второй

интерполяционной

формулой

Ньютона (5.18), так как

тогда

t

—

X •—- X

мало, причем г*>0.

 

 

г——

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньюто­ на обычно используется для интерполирования вперед и экс-

•траполирования назад, а вторая — для интерполирования на­ зад и экстраполирования вперед.

Однако операция экстраполирования менее точна, чем опе­ рация интерполирования в узком смысле.

Замечание. При интерполировании в середине таблицы применяют формулу Бесселя (фактически она тоже принадле­ жит Ньютону), которая, например, при п — Ъ имеет вид:

 

t { t -

\ ) \

t -

\

 

 

З !

 

 

где

 

 

 

 

/ =

(Л, (**)

=

Ум, ' k = Q, 1, 2, 3) .

Эта формула

обычно

применяется на интервале (JCI; л:2)}.

где 0 < г < 1 , и особенно удобной она оказывается при интерпо­ ляции на середину, т. е. при вычислении значения функции в средней точке

 

'

 

X

— Хх

-j-

 

(t

=

 

 

 

 

 

При этом формула

имеет

• вид:

 

 

 

 

 

 

 

Р з { Х і + т ) = 3 , 1 + т A-Vi ~ ~ п г { Д 2 У о + д г У і )

§ 5.6. О Ц Е Н К И П О Г Р Е Ш Н О С Т И

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Х

 

 

Ф О Р М У Л Л А Г Р А Н Ж А И Н Ь Ю Т О Н А

 

 

 

 

 

 

 

Возникает вопрос, насколько близко построенный полином

Рп (х)

приближается

к функции f(x),

т. е. как велик

остаточ­

ный член

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• * „ ( * ) = / ( * ) - Л , М -

/

 

 

 

Решим задачу

в предположении, что на отрезке

[а; Ь]. со­

держащем узлы интерполяции в точках х0, хи

х2,...

,х„, функ­

ция f(x)

имеет все производные до

(п + 1)-го порядка

включи­

тельно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для решения задачи введем в рассмотрение вспомогатель­

ную функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

и

(х)

= /

(х)

-

Рп

(х)

-

*ttn+l

(х)

,

 

(5.19)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П„.,

(х)

=

(х -

х0)

(х

-

*,) . . . (х

-

хп)

,

(5.20)

а — не определенный пока постоянный коэффициент.

Поскольку

/ (xk) = Рп (хк)

и Il„,.i (х) = 0, k = 0, 1, 2 , . . . , п ,

то и (хк) — 0.

Подберем коэффициент * так, чтобы функция и(х) обра­ щалась в нуль в любой зафиксированной точке q є [a; b), не совпадающей с узлами интерполяции, т. е. пусть

и Ы = / ( т , ) - / 3 я Ы - * 1 1 « + 1 Ы = о,

где т, ф хк . Так как

Пя ..,(т( ) ¥ = 0 ,

то

(5.21)

В результате функций и(х) при,таком значении коэффици-. ента а обращается в нуль на концах каждого из п + 1 отрез­ ков

[х0 ;

х,], fx,;

х,] , ,

. . ,

[х,; т,],

[т,;

х<:.,] , . . . , [х„. г,

х„] .

Применяя теорему Ролля к каждому

 

из этих отрезков,

нахо­

дим, что и'(х)

имеет

не менее п+

1 корня на [а; Ь]. Применив

теорему Ролля уже к производной и'(х),

можем убедиться, что

а"(х)

обращается в нуль не менее п

раз на [а; Ь). Таким

обра­

зом,

на [а; Ь] производная uSn{ 1 1 (х)

имеет

хотя

бы один ко­

рень

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м ( « : і ) ( Р ) = 0 .

 

 

 

 

. Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p<n+i>( J C ) =

о

и

(х)

=

(п

+ 1)

! •

 

то получаем

иі*--П(х) = /<"+" (х) — а (« + 1) ! .

При х = с из последнего равенства имеем

0

+ » (5)

- «

( я +

1) ! .

 

откуда

 

 

 

 

 

 

*

( « 4

1 ) !

К

'

ч

ГІз формул

(5.21) и (5.22) получаем

 

 

 

f(t,)-Pn(*,)

 

/("М)(;)

 

 

 

ГТ,1 + і (ТІ)

 

( « + ! ) !

 

или

 

 

 

 

 

- Rn

Ы = / Ы - Рп Ы = ^ Г 4 - т у т І Т " • 1 ( ї , ) •

( 5 ' 2 3 )

Выбираем

т, произвольно, но не совпадающим с узлами ин­

терполяции. Поскольку* для узлов

интерполяции /?Я (Л'А )==0 и

11„ і (xk)

= 0,

то формула

(5.23)

справедлива для всех точек

отрезка

[а; Ь], т. е. формулу

(5.23)

можно записать

в виде

Итак, оценка остаточного члена Rn (х) интерполяционных

,полиномов Лагранжа и Ньютона производится по формуле (5.24), где П„.\(х) задается формулой (5.20).

Поскольку £ является корнем на [а; Ь] производной и.("~1)(х), который бывает очень трудно найти, то для более простого рас­

чета. Rn

(х) вводят величину

 

 

 

МП:Л

= шах

(ж) | ,

 

 

 

х б [а;

Ь\

 

и тогда

из (5.24) получаем

 

 

/

 

( / м ) г j И " + | f x ) ; '

( 5 - 2 5 )

Пример 5.8. В условиях примера 5.1 найти 1пЗ,5 и оценить погрешность.

Р е ш е н и е . Из выражения для Рг{х) в примере 5.1 нахо­ дим 1пЗ,5^Рз(3,5) = 1,2552. Для оценки погрешности заметим, что

тогда

 

 

3 .

М4

= max |/'V(*)|:=-"і;--

 

.і' € (2; 5]

/

О

и. следовательно,

 

 

! R3 (3, 5) |

| - • J - 5

• 0.5 • 0,5 • 1,5_ =

0 ) Ш 8 8 < 0 ) 0 0 9

Смотрите также файлы