Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для оценки погрешности полинома Лагранжа применяют формулу (5.25), а так как в полиномах Ньютона узлы интерпо лирования равноотстоящие, то формулу (5.24) в этом случае можно представить в более удобной форме. А именно, приме няя формулу (5.11), получаем

X	~~~		til	)
х	— xv	=	х	—	(ха	+ h)) =	h (t	—	1)	;
х	—	=	x	—	(x0	4- 2A) =	h(t	-	2)	;
A: — х л		=	д: —• (хи			-+- «Л) =	h (t	~	п)	\

1I„+ 1 (*) =	А"4 1 * ( / — 1) . . . (* -				/г) .
Тогда из формулы	(5.24)	получаем остаточный член первой
интерполяционной формулы		Ньютона
Rn (*) = А" 1	t ( t ~ ( n	+ i)(\	~	— /("	1 ° ( ^ • •
Аналогично, сделав в формуле			(5.24)	замену л; переменной

/ но формуле (5.17), получим остаточный член второй интерпо

ляционной формулы Ньютона
* . ( * ) - « » •		^ У - е * "		1	- ^ -
Па практике очень часто бывает сложно					оценить произ
водную		а е с л и аналитическое выражение f(x) не
известно,	то и невозможно пользоваться			двумя последними
формулами.
Обычно при практических			вычислениях	интерполяционная
формула	Ньютона	обрывается	на членах,	содержащих такие

разности, которые при заданной точности можно считать по


стоянными. Предполагая,	что Д ' ! + 1 у		почти постоянны для
функции y — f{x) и h достаточно		мало,		и учитывая формулу
(5.8), приближенно можно положить			\	,
f(n;\)	А „ + 1 ~	Д« + 1 уп		ш

Тогда погрешность интерполяции первой формулой Ньюто на оценивается величиной

т. е. абсолютной величиной того добавочного члена, который отличает Р„ц(х) от Рп (х)., Отсюда вытекает следующая практическая рекомендация: в интерполяционной формуле

Ньютона надо удерживать столько членов, чтобы первый от брасываемый член был меньше допустимой погрешности рас чета.

Надо отметить еще, что из (5.26) и неравенства (которое приведем без доказательства)

« ' - " • • • « - » >	< ^ А ^ т № < « < « )
{п + 1) !	4 (я + 1)

можно получить простую, хотя и грубую оценку погрешности интерполяции в виде:

Эта оценка оказывается полезной при выборе степени ин терполяционного многочлена, например, если третьи разности очень малы, то можно ограничиться многочленом второй сте пени, что вполне согласуется с выводами, сделанными в § 3.

Аналогично формуле (5.26) при тех же условиях погреш ность интерполяции второй формулой Ньютона оценивается величиной

I-	t ( t + \ ) . . . ( t + п)	^"	' У п.
	{п+\)\
Пример 5.9. В примере 5.7 определить			погрешность ответа
по формулам (5.26) и (5.27).		5.7 имеем: п — 3; t = Q,3;
Р е ш е н и е .	Из решения примера
\| у У о ; = j 0,0005 - 0,0009 \| =			0,0004 .
По формуле	(5.26) получаем
Я з 0 . 4 3 )	0,3 ( 0 , 3 - 1) (0,3 — 2) (0,3 — 3)			0,0004
	4 !

= 0,000016 < 0,00002 . По формуле (5.27) получаем

R 3 (1,43) | < ^ - Ц - • 0,0004 = 0,000025 < 0,00003 .

Более грубая оценка по формуле (5.27) показывает, что в ответе со столькими десятичными знаками, сколько дано в ус ловии, т. е. в ответе 0,9569 — все цифры верные,

Это верно и в общем случае, а именно, если максимальные разности практически постоянны, то результат интерполирова ния по формулам Ньютона обыкновенно имеет столько верных десятичных знаков, сколько их есть в табличных данных, и по этому оценка погрешностей не обязательна.

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

1.В чем суть задачи интерполирования?

2.Для чего существуют две формы интерполяционного по линома Лагранжа?

3.Получить интерполяционный полином Лагранжа в виде формулы (5.6).

4.Что такое разность «-го порядка? Какими свойствами об ладают разности?

5.Как применяется таблица разностей в вопросе о замене функции полиномом?

6.Когда применяют интерполяционную формулу Ньютона,

гкогда — Лагранжа?

7.Вывести первую интерполяционную формулу Ньютона (5.12).

8.Для чего существуют две интерполяционные формулы Ньютона: (5.12) и (5.18)? Когда применяют первую, а когда — вторую?

9.Что такое экстраполирование функции? По каким форму лам можно производить экстраполяцию?

10.Что такое остаточный член интерполяционных формул Ньютона и Лагранжа?

11.По какой формуле производится оценка остаточного члена интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона?

12.Почему оценку остаточного члена можно упростить для формул Ньютона, и как это делается?

13.По каким формулам оценивают остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона и второй формулы Ньютона?

14.Как по члену формулы Ньютона можно оценить погреш ность расчета? Можно ли по отбрасываемому члену оценивать погрешность обеих формул Ньютона или только первой?

15.Как оценивают погрешность интерполяционных формул Ньютона, если функция задана эмпирически?

Г л а в а 6

ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Постановка вопроса. "К численному дифференцированию приходится прибегать в случае, когда функция

У=/(х)	(6.1)
задана таблично или функциональная зависимость (6.1)	име

ет очень сложное аналитическое выражение. В первом случае методы дифференциального исчисления неприменимы, во вто ром — их использование вызывает значительные трудности.

В этих случаях вместо функции		(6.1)	рассматривают	интер
поляционный полином
У =	Р„ (х)			(6.2)
и считают, что
f'(x)^P'n(x).			,	(6.3)
Записав функцию (6.1) в виде
f(x)=r-.P„(x)	+	Ra(x),		(6.4)

где Rn (х) — остаточный член интерполяционной формулы, и дифференцируя тождество (6.4) k раз, получаем

	/<*> (х)	= т	(х)	+ /?(,*> (х).
Так	как за приближенное		значение		(х)	принимают
Р{к){х),	то погрешность есть R(k)			(х).
При замене функции (6.1) интерполяционным полиномом
(6.2) предполагается, что		остаточный член Rn			(х)	мал, но	из
этого не следует, что будет также мало /?(лй) (х).					Практика		по
казывает, что при таком		способе		вычисления	производных
/(к) (х)	получается сравнительно большая погрешность, особен

но при вычислении»производных высших порядков.

Для пояснения этого рассмотрим две функции:

Уі — х — 0,1 Xі

и уз = * - 0,1 х- + 0,5 е-*-* 3,2 .

Из рис. 6.1 видно, что графики этих функций заметно отлича ются друг от друга лишь в небольшом промежутке измене ния х.

Р и с . 6.1

На рис. 6.2 показаны графики производных у'{ (х) и y'zix). Н а них видно, как небольшое изменение функции в малом про межутке вызвало в этом же промежутке большие изменения

Р и с . 6.2

производной. Еще сильнее разнятся вторые производные (рис. 6.3).

На рис. 6.4 показаны графики функций

X	X
?і (х) = \- У і dx	и <?, (х) = І" у,	dx .
о	6	'

Видно, что отличие между кривыми r/i (х) и #2(я)			дало неболь
шую добавку в интеграл «2	(х), заметную	на	графике	лишь
при х>2,8. В целом кривые	» t (х) и »2 (х)	и отличаются		мало.