Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ошибки сказываются незначительно, а на величину производ­ ной, и особенно высших производных, они влияют сильно.

§ 6.1. Ф О Р М У Л Ы П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Г О Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Я , О С Н О В А Н Н Ы Е НА П Е Р В О Й И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н О Й Ф О Р М У Л Е Н Ь Ю Т О Н А

Пусть функция задана в равноотстоящих точках

хк

(k =

= 0, 1, 2, ... , п) отрезка [а; Ь] с помощью значений ук

=- f

(хк).

Предполагаем, что существуют производные от функции (6.1). Для их нахождения заменим функцию приближенно интерпо­ ляционным полиномом Ньютона (формула 5.12), построенным

для системы узлов Хо, Х\,...,

хп:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tAy0

Ці

-

1)

А2

У„ -Ь

 

 

 

 

 

 

•2

!

 

 

 

 

 

 

-4- -t ( t - \ ) ( t ~ 2)

»У.+

«

( / - l

)

( >

-

2

)

« -

» ,

^

3 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уи + *Ду„

f

— 2

 

А-У0Н

 

 

 

б

л

-

Д

Уо +

t* — 6

 

+

1 U 2

 

 

А4

Уо Ч- ••

• ,

(6.5)

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

/ = X; • Г - X;

(І = 0, 1, . . .) .

Многоточие в этой формуле и во всех дальнейших не озна­ чает бесконечной суммы. Не выписываем всех членов этих ко­ нечных сумм, так как на практике обычно ограничиваются двумя-тремя членами.

Поскольку

dy

 

dy

dt

_

1

dy

 

dx

~~

dt

dx

~

h

dt

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

,

2t - 1

 

, 3 f — 6 * 4 - 2

A5 >'o +

АУо +

—ъ

A

>'o +

A

2 t3

- 9 t- 4- 11 t — 3

Д4Уо

+

(6.6)

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

103

Аналогично, так как

 

 

 

 

у

w

~ ~ tfx ~~

rf*

dx

h

dt

TO

'

 

 

 

 

 

 

 

 

A2>'o +

— 1) Ая Уо 'і

 

 

 

, 6 ^ - 1 8 / 4 - 1 1

A 4

Уо + • • •

(6.7)

 

 

4

ід

*

Таким

же способом

вычисляют

производные

любого по­

рядка.

 

 

 

 

 

 

Необходимо заметать, что если формула (6.5) применяется для интерполирования в начале таблицы, то при нахождении производных /'(•*)> / " ( * ) , . . . ' в фиксированной точке х в каче­ стве Хо следует выбирать ближайшее табличное значение аргу­ мента.

Заметим также, что если Л-_у0 = A: j _y0 = .. . = О, то из фор­ мулы (6.6) получаем (

если Д3 уп = Д4 у0 * = . . . — О, то из формулы (6.7) следует

К1

и т. д. Это вполне согласуется с результатами § 3 главы 5.

Иногда

требуется

находить производные функции

y=f(x)

в основных табличных точках

xt. В зтом случае формулы чис­

ленного

дифференцирования

упрощают.

Поскольку

каждое

табличное

значение

можно

считать за начальное, то положив

х = Хо, t = 0, получаем

 

 

 

 

 

я * ) ~ т

U, _ ^

+

 

_ ^

+ * д

.( 6 . S )

/ " Ы

-^г^'у'о

-

А»у„

+

- f j - А ' у , -

- І - А : % + ...) . (6.9)

Пример 6.1. Поскольку выведенные формулы для полинома должны давать точные значения, проверим их справедли-

вость для полинома

г/ = х3 —2х—5, вычислив

 

у'

и у"

в точке

х= \ по формулам

(6.8) и

(6.9).

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н

не. Составим таблицу разностей 6.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 6.1

<>

 

 

 

V.

Ду

Д г у

ДЗу

 

Д<\'

 

 

1

 

- 6

5

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

- 1

12

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

3

 

16

"18

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

4

 

51

24

 

 

 

 

 

 

 

 

59^

 

 

 

 

 

 

 

5

 

110

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У'(1) = ~ ( А у „

о

Т~

о

 

 

12

, 6

1 ,

 

 

 

 

 

у "

(1) =

~

(А-

у а -

Д * у 0 )

= 12

-

6

-

6 .

 

Пример

6.2.

Найти у ' (50)

функции

г/ =

lg х,

заданной

табл. 6.2.

 

 

 

 

 

 

Таблица 6.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

50

55

£0

 

 

65

 

 

 

У

 

1,6990

1,7404

1,7782

 

1,8129

 

Р е ш е н и е . Составим таблицу конечных разностей 6.3.

 

 

 

Таблица 6.3

X

У

Ду

Д г у

50

1,6990

414

 

55

1,7404

- 3 6

 

 

 

378

6

60

1,7782

347

- 3 1

65

1,8129

 

 

 

Так как h = 5, то по формуле (6.8) получаем

у' (50) % 4- 0,0414 — А ( - 0,0036) - f 4j- 0,0005

0,0087.

Для оценки точности найденного значения вычисляем точ­ ное значение производной в данной точке по формуле

М0,43429

У =

X

X

 

У' (50)

0,43429

0,0087

50

 

=

Видим, что результаты совпадают с точностью до четверто­ го десятичного знака.

§ 6.2. Ф О Р М У Л А П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Г О Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Я , О С Н О В А Н Н А Я НА И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н О Й Ф О Р М У Л Е Л А Г Р А Н Ж А

Выведем формулу численного дифференцирования на осно­ вании формулы Лагранжа. Пусть для заданной системы узлов интерполяции у І = / ( * ( ) , ' = 0, 1 п построен интерполяци­ онный полином Лагранжа (5.7). Перепишем полином в виде:

"

У І

1

Р„ (X) = II (X) V

~,Ц

X

Li

И ' ( Х Л

и вычислим от него производную

d

Рп

(х) « П' (х) \

 

У І

dx

 

 

 

£ 0

U'(*i){x

— Xi)

 

 

 

 

 

Ус

 

 

 

(х -

X , ) 2 И' ( X l )

Значение производной в /-м по счету узле равно

 

Рп

(х)

= IT (Xj)

V

 

Уі

 

 

dx

{Xj - x.flY

(Xi)

 

 

 

 

£ J

 

 

 

 

 

УІ

 

 

+

 

 

 

 

i-0

(Xj

- X,)* П' ( X [ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (X

W(x)y,

 

 

П

(x)y0

 

 

-

Xj) IT {XJ)

 

(-X

-

Xj)- 11'

(Xj)

 

Так

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

(xj)

=

0

и

 

(*, — x,y-

Н' (*,)

ф

О

при

і

ф

j ,

то вторая сумма обращается в нуль.

Разность в

квадратных,

скобках при х

=

Xj представляет собой неопределенность. Что­

бы ее раскрыть, напомним, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1Г (х)

=

£

 

(х

-

х0)

(х

- X l ) .

. .

(х

-

 

 

 

X

 

 

 

 

/ = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

{х — хі+і)

. . . (х

-

ха)

,

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I I '

(х)

=

V

1 1

{ х

) -

=

п(х)

 

У

-

X

—

ХІ

 

 

 

у

'

 

Li

х

—

X,

 

 

'

<-i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В связи с этим имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И'(х) Ус

 

 

 

 

П(х)

у,

 

 

 

 

 

 

 

(X~Xj)

 

R'(Xj)

 

 

( Х - Х , ) Ч 1 '

(Xj)

 

 

 

 

 

У у _

1Г (x)

 

 

I I

(х)

 

,,

 

 

П'

(*,)

X

 

 

 

 

 

 

— ху)'-

 

 

~

П'

(xj)

X

—

Xj

 

(х

 

 

X

 

 

 

 

(х

-

х,.)--

 

 

 

 

_

_._>7.

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П'(х,.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І - 0

X

— X,-

 

( =

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

(х -

Ху)2

 

 

 

 

 

 

 

 

X

—

X :

 

 

Т П * У

{

X j ~ X n )

{ X j " ~ X l )

• ' '

( x

J ~ X j - l )

(xj-xi+0-(Xj-Xn)

X

 

 

 

 

 

"

1

 

 

 

 

"

 

1

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы