Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
В итоге получаем
J |
v |
" |
dx |
x-xj |
|
" fL |
(Xj - |
xi) |
II (xt) |
|
||
|
|
|
|
|
|
" |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( = 0 |
J |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІФІ |
|
|
|
|
|
|
§ 6.3. О Ц Е Н К А |
П О Г Р Е Ш Н О С Т И Ф О Р М У Л Ч И С Л Е Н Н О Г О |
|
||||||||||
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Я |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку погрешность интерполяционных формул Ньюто |
||||||||||||
на и Лагранжа оценивается формулой |
(5.24), то |
погрешность |
||||||||||
приближенного равенства |
(6.3) |
равна |
|
|
|
|
|
|||||
р> |
|
<гл |
11 |
(*У |
|
j |
/ ( я : 1 ) (0 |
.*dll(x) |
|
|||
К п |
К |
' |
(и |
+ |
1) ! |
dx |
^ |
(n + |
1) ! |
dx |
|
|
Но |
фактически |
указанную |
погрешность |
в общем случае |
||||||||
оценить нельзя, так как неизвестен характер зависимости |
£ от |
|||||||||||
х. Видно только, |
|
что в узлах интерполяции |
х |
= |
Xj П (х}) |
= 0, |
||||||
и, таким образом, погрешность |
равенства (6.3) |
в узлах интер |
||||||||||
поляции оценивается величиной
При оценке погрешности формулы (6.8) формула (6.11) принимает вид:
но так как
TO
Поскольку / ( й : ! ) (?) во многих случаях трудно оценить, то при малом h приближенно полагают
108
и тогда оценка погрешности формулы (6.8) имеет вид:
|
|
R ' „ U . ) - - t ^ - 4 ^ f |
• |
|
|
(6.12, |
|||||
т. е. погрешность формулы |
(6.8) равна |
величине того |
добавоч |
||||||||
ного члена, который |
отличает |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Р'пп(хо) |
от |
Р'п(х(1), |
|
|
|
|
|||
как в оценке погрешности интерполяционного полинома |
Нью |
||||||||||
тона, на основании |
которого и получена формула |
(6.8). |
|
||||||||
Аналогично может быть найдена погрешность |
R"п (х0 ) для |
||||||||||
иторой производной |
|
f"(Xo). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для подсчета f'(x) |
в узлах интерполяции |
формула |
(6.8) |
||||||||
проще, чем (6.10), однако преимущество формулы |
(6.10) |
втом,, |
|||||||||
1 го она годится |
и для неравноотстоящих |
узлов. При этом по |
|||||||||
грешность формулы |
(6.10) |
оценивается по формуле |
(6.11). |
||||||||
В случае применения формулы (6.10) |
к |
равноотстоящим |
|||||||||
узлам |
формула |
(6.11) |
упростится. Так как х-,; і — х; |
= п, то |
|||||||
(Xj - |
Х{)) (Xj — |
X , ) |
. •. . (Xj — Xj-i) (Xj — Xj: і) . . . (Xj — |
x„) = |
|||||||
= h«j ( / - I ) . . . 1 (~1 ) . . . [ - (n-j)] |
= |
(- |
\)»-ih»j |
! |
(n-j)l |
||||||
Итак, погрешность формулы (6.10) для равноотстоящих уз лов оценивается величиной
Пример 6.3. Произвести расчетпо формуле (6.10) при п — 2
для точек хо, Xi=x0 |
+ h, X2 = x0 + 2h с оценкой |
погрешности. |
||||
Р е ш е н и е . Используя условие, |
предварительно |
вычис |
||||
ляем: |
|
|
|
|
|
|
ГГ (х0 ) = |
(х( ) |
- х ( ) (х( ) - х,) = |
( _ АХ ( - 2А) - |
2А2 , |
||
1Г (х,) = (х{ |
— х0 ) (х, — х.,) |
= |
— Л2 |
, |
|
|
I I ' (х,) = |
(х3 |
— х0 ) (х., — X j ) = |
2Л- , |
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dP, |
(х) |
|
|
ТІ' |
(х0) |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
dx |
|
|
|
(*о |
- |
Х ї ) |
П ' |
( х і |
) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
(ха |
- |
х,) |
I I ' (х.,) |
+ УоІ .. |
1 .. |
+ • - |
1 |
|
|||||
|
\ -^U |
|
|
|
"*Ч> |
|
Х2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
_2_ |
|
|
|
Уг |
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
h |
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Остаточный член формулы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Г |
Ы |
|
dl\ |
(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вычисляем |
по формуле |
(6.13): |
|
|
|
|
|
|
|
||||
R'2 (x) = |
(- |
\y |
V |
О |
і 2 і |
|
* |
|
|
h- |
|
|
|
|
|
/ " ' |
( c ) |
= |
— |
/ " |
' |
( ? ) • |
|||||
Аналогично |
сделав |
расчеты |
для |
х = Х[ |
и х = х% |
получаем |
|||||||
следующие расчетные формулы с указанием остаточного чле на для трех равноотстоящих узлов:
/ ' |
Ы |
( - Зу0 + 4 У і - |
у,) + |
/"' |
, |
/ ' |
= |
( - Уо 4 J ' 2 ) - |
- £ - / " ' ( ? , ) > |
|
|
/' (*з) = - ^ р (Уо ~ 4у, -4- Зу2 ) + - ^ - / ' " ( У .
Замечание. Если таблица функции получилась в результате эксперимента, то из приведенных формул видно,, что малая ошибка в значении функции после деления на малый шаг h может привести к большой ошибке в значении производной. Еще хуже обстоит дело при вычислении производных высших порядков. Поэтому желательно, чтобы шаг таблицы был по крайней мере на порядок (т. е. раз в 10) больше, чем возмож ная ошибка в значении функции; для вычисления производ ной второго порядка шаг должен быть на два порядка больше этой ошибки.
К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы
1. В чем состоит задача приближенного дифференцирова ния и почему она возникла?
2.Какова сравнительная точность интерполирования, при ближенного дифференцирования и интегрирования?
3.Произвести вывод формулы приближенного дифференци рования, основанной на,первой интерполяционной формуле Ньютона.
4. Как выглядят формулы численного дифференцирования
восновных табличных точках xt. Сделать вывод.
5.Сделать вывод формулы (6.10). На основании какого ин терполяционного полинома она выводится?
6.По какой формуле производится оценка погрешности формул (6.6) и (6.10)? Можно ли по формуле (6.10) оценивать погрешность формулы (6.8)?
7.По какой формуле подсчитывают погрешность формулы
(6.8)?
8.По какой формуле подсчитывают погрешность формулы (6.10)? Сделать вывод.
9.В чем сравнительные преимущества и недостатки фор мул (6.8) и (6.10)?
Г л а в а 7
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Постановка задачи. Если для рассматриваемой функции первообразная выражается через элементарные функции, то определенный интеграл от данной функции вычисляется но формуле Ньютона—Лейбница. Однако не всякая первообраз ная выражается в конечном виде через элементарные функции. К «неэлементарным» функциям относятся, например, функция Лапласа
х
Ф (х) «=.- j е-? dt ,
о
которая играет большую роль в теории вероятностей, функ ция
х
_ |
d t |
"(Г— |
Р) (1 - k'1 Р) ' |
применяющаяся в электротехнике при расчете взаимоиндук тивности двух круговых витков, интеграл Френеля
х
О
встречающийся в теории интерференции и др. В этих случаях, а также когда зависимость между переменными задается гра фически или табличным способом, нельзя применить формулу Ньютона—Лейбница. Тогда применяют различные приближен ные методы.
1. Для приближенного вычисления определенных интегра лов часть неэлементарных специальных функций затабулиро-
