Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 141

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вана. Например, во всех учебниках но теории вероятностей приводится таблица значений функции

Ф (х) = —1 \ е 2 dt .

2.Часто применяют разложение подынтегральной функции

вряды различного вида.

Пример 7.1. Вычислить

				sin	х		,
				х			а х
				х
с точностью до 0,001.
Р е ш е н и е .			Применяя ряд Маклорсна для sinx, получаем
sin	х	dx		1 - Т !	4 - А - - . . . 4 ( - 1 ) - Х
х		dx		1 - Т !	4 - А - - . . . 4 ( - 1 ) - Х
х
X -77	X 2 л - 2			+ . . . dx — x			Xі		X'"
X -77	-	1) ! .		+ . . . dx — x			3 • 3 !	1	5 • 5 !
(2n	-	1) ! .					3 • 3 !		5 • 5 !
						X' 2Л--1			Л- • • •
				{2n	-	1) - (2/i — 1) !			Л- • • •
Положим		x — it, тогда
	sin	X	dx — т. —		18		1 600	35 280Г +
			dx — т. —		18		1 600	35 280Г +
				_ 9
			3 265 920		439064 800

Погрешность в случае знакочередующегося ряда не пре восходит первого из отброшенных членов по абсолютной вели чине.

Так как шестой член меньше, чем 0,0007, то ограничимся пятью членами.

Промежуточные вычисления проведем с пятью значащими цифрами:

It
sin X dx	3,1416 — 1,7226 +0,5100 -0,0856 + 0,0091 =

= 1,8525 =с 1,852 .

Итак:

-dx =- 1,852 + 0,001 .

3. Если подынтегральная функция задана графиком, приме няют графическое интегрирование. Оно основано на геометри ческом смысле определенного интеграла, равного площади со ответствующей криволинейной трапеции. Эту площадь можно подсчитать примитивно, изобразив график на миллиметровке и считая клеточки или с помощью специального инструмента — планиметра. Площадь фигуры произвольного вида считывается с циферблата планиметра после обвода ее контура штырем планиметра.

4. Наиболее универсальными методами, пригодными к ин тегралам от произвольных функций, заданных любым спосо

бом, в особенности таблично	(это, в частности,	удобно при
применении вычислительных	машин), являются	методы чис

ленного интегрирования. Основная идея этих методов заклю

чается в том, что подынтегральную функцию								заменяют	близ
ким к ней интерполяционным					полиномом, первообразная				кото
рого находится элементарным					образом.
	Пусть известны		значения		функции		y—f(x)	в точках	a — x§\
х\\...	\ Jfn-Г,	хп = Ь.	Представим эту функцию в виде
		/ ( * ) =		Р„ (x) + Rn			(х),
где	Рп (х) — интерполяционный полином Лагранжа или Нью
тона. Почленно проинтегрировав						это равенство, получим
	ь		ь			ь
	j /	(х) dx=- [Рп		(х) dx		+ j	Rn (х) dx .
	, а		а			а
	За приближенное значение искомого интеграла принимают
		\f(x)dx^			f Pn(x)dx,				(7.1)

аа

апогрешностью этого приближения служит величина

r„ = j	Rn (х) dx .	(7.2)
а

Используя формулу (5.25), имеем

І r" I <	77ГІЛТТ СI ^ : 1				d x = m	a x	/[ ""Н ) (*) I х
	l	«	t l \| !	J	є [о; ft]
1			Ь
1			f
х (л +	і)	і	)'••(*-	* о ) ( x ~ x i )	• • • (х	-	хп) I dx .	(7.3)

§ 7.1. Ф О Р М У Л Ы П Р Я М О У Г О Л Ь Н И К О В

Для приближенного вычисления dx

разделим отрезок [а; Ь) точками

\ Хп — \\ хп

Л =

Х 0 ,

Х^\

Хъ

на я равных частей с длинами

Ах =

•

Обозначим

через

у0 ;

Уи

у 2 ; . .

. ; у<; • . .

; у«-г, уп

соответствующие

значения

функции y=f(x)

в точках

деления.

Составим суммы:

4 _v0

Ах

j / ,

Ах, 4-

уг

Ах

• • • -I- У; А* 4

• • . +

У«-і А *

5 f

j ' j

Ах

- f

у2

Ах

-h . . . +

у,

Ax' f

. . . 4-

y„_i

Ах

h Уя Ах .

Каждая из этих сумм является

интегральной

суммой

для

функции y=f(x)

на [а; Ь] и поэтому

приближенно

выражает

интеграл:

Ь-ап'х

^ / ( х ) г і д с я = ( у 0 + у 1

Ч - у ? +

. . . + у / + . . . + у я

- і ) Д х =

—

/г

у,;

(7.4)

— j

і-о

У Г Ь - + У « - І 4

У , ) Д * =

I /(x)rfx^Cyr r-y.2 4-.,.-[

( 7 - 5 )

((--іі

Формулы (7.4) и (7.5) называют формулами прямоуголь ников. Из рис. 7.1 видно, что если подынтегральная функция положительная и возрастающая, то формула (7.4) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (7.5) — площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.

Р и с . 7.1

Когда функция монотонна на [а; Ь], то абсолютная погреш ность формул (7.4) и (7.5) не превышает величины площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 7.1, основание ко-

аb а

торого равно ах	= — — ,	а высота равна уп—у0,	т. е. ошиб
ка не превышает	величины
	& =	\Уп-Уо\-	(7-6)

Замечание. На практике обычно вычисляют значения орди нат в средних точках

?* — 2 = *А-Н/2 •

Если соответствующие			ординаты /	(%k) — f	(xk.r\/2)	обозна
чить через	ук -1/2.	то формула прямоугольников примет вид:
J" / ( * )	СІХ %	jj-?-	{УМ2 + УЗ/2	+ . . . +	У/1-1/2) •	(7.7)
а

В большинстве случаев формула (7.7) точнее, чем (7.4) и (7.5), что видно на рис. 7.1. •

§ 7.2. Ф О Р М У Л А	Т Р А П Е Ц И Й
Более точное значение определенного			интеграла	получим, ,
если данную кривую с уравнением y=f(x)			заменим не ступен
чатой линией,	а вписанной ломаной (рис. 7.2). Тогда			площадь
криволинейной	трапеции	аАВЬ заменится	суммой	площадей
прямолинейных трапеций,		ограниченных сверху хордами ААи
АіА2,...,Ап.л	В,