Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 138
Скачиваний: 0
§ 7.3. Ф О Р М У Л А П А Р А Б О Л ( Ф О Р М У Л А С И М П С О Н А )
Формула парабол требует не большей затраты труда, чем предыдущие формулы, но приводит к еще более точным ре
зультатам при одном |
и том же |
разбиении отрезка [а; Ь]. |
|||
Разобьем отрезок |
[а; Ь] на |
четное |
число |
равных |
частей |
т — 2п. Площадь криволинейной трапеции, |
соответствующей |
||||
отрезку [хо; Х2] и ограниченной заданной |
кривой y=f(x), |
заме |
|||
ним площадью трапеции, ограниченной параболой второй сте пени, проходящей через три точки М0(х0; yQ), М{(хи ух),
Р и с . 7.3
М2(х2; у2) и имеющей ось, параллельную оси OY (рис. 7.3). Такую криволинейную трапецию называют параболической. Уравнение параболы с осью, параллельной оси О К, имеет вид:
у = Ах- + Вх + С |
(7.9) |
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из усло вия, что парабола проходит через три заданные точки.
Аналогичные параболы строят и для отрезков [х2; х 4 ] , . . . , \х2п~2, х.1п]. Сумма площадей параболических трапеций даст приближенное значение интеграла.
Вычислим сначала площадь одной параболической трапе ции, а именно, докажем, что площадь, ограниченная параболой (7.9), отрезком оси ОХ и двумя ординатами, расстояние меж ду которыми равно h, вычисляется по формуле
S = -|- (Уо |
4-У! + У2) , |
(7.10), |
где
і/о и у2 — крайние ординаты;
;/i — ордината кривой в середине отрезка.
Р и с . 7.4
Для доказательства расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. 7.4. (От выбора системы координат величина площади не изменится.) Площадь парабо лической трапеции вычислим по формуле
5 = \ (Ах2 |
+ Вх + |
С) dx |
= |
- Jh^ - {Alt'- |
•{- 12 С) . |
(7.11) |
|
Коэффициенты |
в уравнении |
параболы |
(7.9) определим из |
||||
следующих уравнений: |
|
|
|
|
|
||
*п = |
|
h |
Уо = |
, |
/Ґ- |
|
|
|
2~ . |
А |
"J- |
|
|
||
Xi = |
0, |
г// = |
С ; |
|
|
|
(7.12) |
|
А- |
|
„ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из решения системы (7.12) следует:
С = У и А~-^Г |
(2Уо + 2Уг - 4^<) • |
Подставив найденные значения для Л и С в формулу (7.11), получим формулу (7.10).
На основании формулы (7.10) получаем следующие при ближенные равенства:
/ (х) dx ^ *2 Х° (у0 + 4у1 + х,) ;
4
х- 6 |
(у 2 + |
+ У л); |
\ (7.13) |
|
|
|
J |
f(x)dx^X>» |
|
6Х'2п-2 |
ІУт-2 |
+ |
У-2П-Л V У2„)- |
|
|
||||
хїп-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X.) |
XQ |
— Х^ |
Х'2 = = . - • =~= -^2/2 |
%2п—2 '—''b — а |
|
||||||
то складывая |
соответственно |
левые |
и правые |
части |
формул |
|||||||
(7.13), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ (*) |
dx ~ |
|
Ь Ы а |
[У 0 |
+ У2п + |
2 |
(Уі |
+ У і + |
• • • + |
^ 2 й - 2 ) + |
||
4 ( У і + У 8 + - + У 2 Я - і ) ] = |
& - |
а |
Vя |
(№г-2+4г/2/ -і + У 2 г ) . |
(7.14) |
|||||||
6 / г |
' |
^ |
||||||||||
Эта формула называется формулой Симпсона или форму |
||||||||||||
лой парабол. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 7.4. В Ы В О Д |
Ф О Р М У Л |
П Р Я М О У Г О Л Ь Н И К О В , Т Р А П Е Ц И Й |
|
|
||||||||
И П А Р А Б О Л НА О С Н О В А Н И И И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н О Г О |
|
|
||||||||||
П О Л И Н О М А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (7.4), (7.8) и (7.14) |
можно получить на основании |
|||||||||||
формулы (7.1). Докажем это. |
п = 0, т. е. PQ(X) =Уо=/(«)', |
|
||||||||||
Положив |
в формуле (7.1) |
полу |
||||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / (х) |
dx ^ |
_[-/ |
(a) |
dx=f |
(а) (Ь - |
а) . |
|
(7.15) |
|||
Полагая в (7.1) п—\ и пользуясь формулой линейного ин терполирования (5.13), будем иметь:
|
|
|
Ь |
|
|
|
I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
f (х) |
dx |
^ |
j P , |
|
(х) dx |
= |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= h |
| |
(у0 |
+ |
t Ау0) |
dt |
= |
{b |
- |
а) [уи |
+ |
^ |
Ayt)j |
, |
где связь между переменными х |
и t |
обеспечивается |
формулой |
||||||||||
t |
= |
х |
7 |
x » - |
= |
* ~ |
fl |
,(А = ft |
- |
а) . |
|
|
|
Учитывая, что |
Ау()=у1—г/0, |
|
получаем |
|
|
|
|
||||||
|
|
ft |
|
|
|
|
|
|
^ +± 01 |
|
|
|
|
|
|
^ / |
|
|
( А - а) |
|
|
(7.16) |
|||||
При п = 2 из формул (7.1) и (5.14) |
следует: |
|
|
|
|||||||||
ft |
й |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) rfjc » |
f P,(x)dx=h |
£ (y0 + |
* Ді/() + i i L — ! 1 д - ' г / 0 |
j <ft |
|||||||||
где |
|
|
Л |
b — a |
|
т а к к а к |
|
|
h = |
b — a |
|
2 |
|
|
Итак, доказали формулу |
|
|
ь |
|
|
j ' / (*) rf* ж |
А ^ + - і - Л2 */0 j . |
(7.17) |
