Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

144 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп

М, что всякая точка, линейно зависящая от М, содер­ жится в М. При'таких определениях «линейные много­ образия» в Р удовлетворяют аксиомам п-мерной проек­ тивной геометрии для некоторого п > 1 тогда и только тогда, когда группа G изоморфна группе движений эл­ липтической геометрии, и в этом случае п = 3.

Глава IV

АВТОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП

§ 1. А в т о м о р ф и з м ы г р у п п GLn(K)

До 1966 г. большая часть методов определения авто­ морфизмов классических групп основывалась на изуче­ нии инволюций в этих группах и на том факте, что при автоморфизме инволюция переходит в инволюцию. Изу­ чение инволюций в классических группах, предпринятое в гл. I, показывает, что им можно внутренним образом поставить в соответствие подпространства того простран­ ства, в котором действует группа; автоморфизм группы индуцирует преобразование множества этих подпро­ странств, и в большинстве случаев основная теорема про­ ективной геометрии (гл. Ill, § 1) позволяет установить, что это преобразование происходит из коллинеации или корреляции, что и дает описание автоморфизмов данной группы.

В настоящей главе будут изложены результаты, полу­ ченные этими методами. Краткое описание новых мето­ дов см. в приложении.

Начнем с изучения автоморфизмов группы GL„(/C), где К — произвольное тело (не обязательно коммутатив­ ное). Из-за того, что инволюции в группе GLn(K) устрое­ ны различным образом в случаях, когда характеристика тела К отлична от 2 и равна 2, нужно рассмотреть от­ дельно эти два случая.

I. п ^ 3, характеристика тела К не равна 2. Мы будем называть (р, п — р) -инволюцию (гл. I, § 3) экстремаль­ ной, если р = 1 или р = п — 1. Первый шаг.состоит в до­ казательстве следующего утверждения:

1) Всякий автоморфизм ф группы GLn(K) переводит экстремальную инволюцию в экстремальную инволюцию.

Для доказательства достаточно охарактеризовать экс­ тремальные инволюции среди всех инволюций в группе

«-мерного векторного пространства Е, в котором она дей­ ствует. Это можно сделать несколькими способами, раз­ вивая идеи, восходящие к работе Макки [1]. Наиболее быстрый способ, несомненно, следующий (Дьёдонне [7], стр. 5): в группе GLn(K) рассматриваются максималь­ ные множества попарно коммутирующих сопряженных инволюций. Используя тот факт, что линейное преобразо­ вание, коммутирующее с инволюцией, сохраняет собст­ венные подпространства этой инволюции, легко показать,

одному такому множеству. Отсюда и получается искомая характеризация экстремальных инволюций.

Другой способ, предложенный Риккартом [1], также исходя из идей Макки [I], больше связан со следующими этапами доказательства и применим, как мы увидим ниже (§ 3, 4 и 7), к другим классическим группам. Для любого множества S инволюций группы GLn(K) обозначим через с (S) множество инволюций, коммутирующих со всеми инволюциями из S. Для двух коммутирующих инволю­ ций и, V обозначим через ѵ(и,ѵ) число элементов в с(с(и, ѵ)). Наконец, для всякой инволюции и обозначим через ѵ(и) максимум из чисел ѵ(и,ѵ), когда ѵ пробегает множество инволюций, коммутирующих с и. Можно по­ казать при пТ> 3, что ѵ(и) = 16, если инволюция и не экстремальна, и ѵ(н) = 8 в противном случае. Это дает новую характеризацию экстремальных инволюций. (При п = 2 и п = 3 всякая инволюция экстремальна.)

Следующий шаг состоит в рассмотрении, согласно Макки, минимальных пар экстремальных инволюций. По определению две экстремальные инволюции и, ѵ обра­ зуют минимальную пару, если они не коммутируют и имеют общее собственное подпространство. Доказывает­ ся следующее утверждение:

2) Всякий автоморфизм ср группы GLn(К) переводит минимальную пару экстремальных инволюций в мини­ мальную пару.

Как и выше, достаточно охарактеризовать минималь­ ные пары свойствами, зависящими только от структуры группы. Способ Макки (см. там же) основывается на следующем свойстве: две не коммутирующие экстремаль­ ные инволюции и и V образуют минимальную пару тогда и только тогда, когда с (с (и, ѵ)) — с(с(и',ѵ')) для всякой пары не коммутирующих экстремальных инволюций и', ѵ', содержащихся в с(с(и,ѵ)).

Далее, можно рассуждать двумя различными спосо­

новку ф множества этих пар. Будем называть две мини­ мальные пары («і,і»i), (и2,и2) экстремальных инволюций подобными, если размерности, общих собственных под­ пространств ИНВОЛЮЦИЙ U\, Ѵ\, с одной стороны, и и2, ѵ2—

с другой, равны. Легко доказать, что ср преобразует любые две подобные минимальные пары в подобные (Риккарт [1], стр. 459). Поэтому совокупность пар (D, H) с фиксированной прямой D при преобразовании ф пере­ ходит либо в совокупность пар с общей прямой, либо в совокупность пар с общей гиперплоскостью, причем для всех прямых D имеет место один и тот же случай. Тем са­ мым преобразование ф определяет биективное отображе­

волюцию, соответствующую паре (Di,H), то каждая из инволюций Ui принадлежит множеству c(c(uj,tih)), опре­ деленному двумя другими инволюциями. Отсюда без труда выводится, что точки Du D2, D3 пространства Р(Е), лежащие на одной прямой, переходят при отобра­ жении 0 в три точки, лежащие на одной прямой. Соглас­ но основной теореме проективной геометрии (гл. Ill, § 1), существует либо такая коллинеация g пространства Е, что g = Ѳ, либо такая корреляция h пространства Е на пространство Е*, что /Т = Ѳ. В первом случае ср совпадает

148 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

на множестве экстремальных инволюций с автоморфиз­ мом u-*gug~\ во втором— с автоморфизмом u-*h~lüh, где й обозначает преобразование, контраградиентное к и. Предположим для определенности, что имеет место пер­ вый случай. Так как всякий сдвиг является произведе­ нием двух экстремальных инволюций и группа SL„(K) порождается сдвигами, то автоморфизмы ф и и -*■ gug~l

пространства Е. Значит, %(и) = и-1ф0(ц) есть центральная гомотетия. Очевидно, что отображение н —>x(w) является

где X — гомоморфизм группы GLn(K) в ее центр Zn, а g — коллинеация пространства Е. Записывая условие того, что ограничение автоморфизма ф на Zn биективно, находим следующее необходимое условие на гомомор­

Второй способ получения этих результатов состоит в использовании упомянутого выше факта: всякий сдвиг есть произведение двух экстремальных инволюций, обра­ зующих минимальную пару, и обратно. Отсюда следует, что автоморфизм ф переводит любой сдвиг в сдвиг. За­ тем используется рассуждение Шрейера и Ван-дер-Вар-

дение двух сдвигов it, t2 является сдвигом только тогда, когда t\ и t2 имеют либо общую гиперплоскость, либо общую прямую. Всякая подгруппа группы GLn(K), со­ стоящая только из сдвигов (и тождественного преобразо­ вания), содержится либо в группе Т(Н) всех сдвигов вдоль некоторой гиперплоскости Я, либо в группе T(D) всех сдвигов в направлении некоторой прямой D. Пересе­

что автоморфизм ср определяет биективное отображение Ѳ пространства Р (Е) на пространство Р (Я) или Р{Е*). При этом точки, лежащие в одной гиперплоскости, преоб­ разуются отображением 0 в точки, лежащие в одной ги­ перплоскости, что позволяет закончить доказательство так же, как и выше.

II. п ^ 3, характеристика тела К. равна 2. В этом слу­ чае сдвиги являются (1,/г— 1)-инволюциями в группе GLn(K), и достаточно отличить их (при п^- 4) от других инволюций свойствами, использующими только струк­ туру группы; метод Шрейера и Ван-дер-Вардена, описан­ ный выше, позволит тогда сделать то же заключение, что и в случае 1. При п ^ 6 искомое различение достигается замечанием, что произведение двух коммутирующих сдвигов есть либо сдвиг, либо (2, п — 2)-инволюция, в то

двум классам сопряженных элементов в группе GLn(K) (Дьёдонне [7], стр. 14). При п = 4 и п = 5 нужно разли­ чить два класса С\, С2 инволюций в группе GLn(K), С этой целью для всякой инволюции и рассмотрим мно­ жество Р*(и) инволюций, коммутирующих с и и не при­ надлежащих тому классу, которому принадлежит и, за­ тем множество Р**(и)' инволюций, коммутирующих со всеми инволюциями из Р* (и) и принадлежащих тому же классу, что и. Если и — сдвиг, то произведение любых двух различных элементов из Р** (и) лежит в том же классе, что и; но это не так, если и — не сдвиг. Отсюда и получается искомое различение.

III. п = 2. Если характеристика тела К равна 2, то по тем же соображениям, что и в случае II, получаем, что