Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

150 Гл. ІѴ. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

автоморфизм ф переводит сдвиги в сдвиги и тем самым определяет биективное преобразование проективной пря­ мой Р 1 (К) на себя. Можно предполагать, что это преоб­

разование оставляет на месте точку (которую можно счи­ тать «бесконечно удаленной») и, значит, индуцирует биективное преобразование t —*ta тела К. А'іожно, далее, добиться того, чтобы 0° = 0, 1а = 1. Используя тот факт, что если s и t — сдвиги, то sts~[ — также сдвиг, легко до­ казать соотношения (х + у )0 — ха -f- у° и (хух) а — хауаха (Шрейер и Ван-дер-Варден [1], стр. 317—318). Из тео­ ремы Хуа [7] следует тогда, что отображение t —*tü обя­ зательно является автоморфизмом или антиавтоморфиз­ мом тела К, откуда уже легко выводится, что ф задается формулой (1) или (2).

Тот же метод был применен Шрейером и Ван-дер- Варденом для коммутативного тела К характеристики ф 2. Однако их рассуждение содержит ошибку в доказа­ тельстве того, что автоморфизм ф преобразует сдвиги в сдвиги. Этот факт был доказан Хуа [5], стр. 756, который заметил, что сдвиги можно охарактеризовать следующим образом. Если характеристика поля К равна р ф 0, то сдвиги t характеризуются свойством Гр — 1. Если харак­ теристика поля К равна 0, то сдвиги являются единствен­ ными преобразованиями / е SL2{K), для которых суще­ ствует бесконечно много преобразований из SL2(K), со­ пряженных с і и коммутирующих с t. Представление ав­ томорфизма ф формулой (1) или (2) сохраняется и в этом случае.

Наконец, опираясь на этот последний результат, Хуа [9] смог доказать, что для произвольного (не обязательно коммутативного) тела К любой автоморфизм группы GL2{K) задается одной из формул (1) и (2). Таким об­ разом, проблема определения всех автоморфизмов груп­ пы GLn{K.) полностью решена.

Замечания. 1) Автоморфизмы группы ГЬп(К) коллинеаций пространства Е при п ^ 3 также задаются фор­ мулами (1) и (2), причем %в этом случае есть отображе­ ние группы ГЬп (К) в группу Z„, удовлетворяющее усло­

вию %{щи^ = X(wi)X(іі2)СТі, где оі — автоморфизм тела К, соответствующий коллинеации щ (Риккарт [3]). В самом деле, достаточно показать, что при любом автоморфизме

ложим вначале, что характеристика тела К отлична от 2. Используя описание инволюций в группе ГЬп(К), данное в § 3 гл. 1, легко убедиться, что для всякой инволюции и <= П п { К ) , не принадлежащей группе GLn (K), суще­ ствует система из 2” попарно коммутирующих инволю­ ций, сопряженных к и в Г І П{К) (Дьёдонне [7], стр. 9). Этого достаточно для отличения этих инволюций от экс­ тремальных. В случае когда характеристика тела К рав­ на 2, достаточно заметить, что если щ, и2— коммутирую­ щие сопряженные инволюции в группе ГЬП(К), не при­ надлежащие группе GLn(/С), то их произведение принад­ лежит группе GLn(K) и, значит, не может быть сопря­ жено инволюции Ui, в противоположность тому, что бы­ вает, когда ии и2— сдвиги (Дьёдонне [7], стр. 17). Это последнее рассуждение применимо также при п — 2 и дает описание автоморфизмов группы ГЬ2(К) для тела

Кхарактеристики 2.

2)Риккарт [1], [3] распространил эти методы на за­ дачу определения автоморфизмов группы GL(E) линей­ ных преобразований бесконечномерного векторного про­ странства Е над телом К характеристики Ф2. Впрочем, метод «минимальных пар» был изобретен Макки [1] имен­

но при решении подобной задачи (в случае когда К — поле действительных или комплексных чисел).

Укажем также на другое обобщение, принадлежащее Эрлиху [1], при котором группа GLn(K) заменяется груп­ пой обратимых элементов «регулярного» кольца, ассо­ циированного с «непрерывной геометрией» фон Неймана.

§ 2. Автоморфизмы групп SLn (К)

Очевидно, что автоморфизм ср группы GLn(K), зада­ ваемый формулой (1) или (2), индуцирует автоморфизм группы SLn(K), если только ограничение гомоморфизма X на SLn(K) является гомоморфизмом этой группы в ее

нием, быть может, этих двух случаев. Однако центр груп­ пы SL2(F2) равен единице, а центр группы SLZ(F3)

152 Гл ГѴ. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

состоит из двух элементов, в то зремя как ее коммутант является подгруппой индекса 3. Это показывает, что X == 1 во всех случаях.

Мы покажем теперь, что всякий автоморфизм группы SLn(K) индуцируется автоморфизмом группы GLn(K),

за исключением одного случая, для которого вопрос остается открытым.

Прежде всего, если характеристика тела К отлична от 2 и п нечетно, то группа SLn(K) содержит ( I, п. — ^-ин­ волюции, и рассуждения § 1 применимы при п ^ 3. Эти рассуждения применимы также, если К — некоммутатив­ ное тело характеристики ^ 2 и — 1 содержится в ком­ мутанте группы К* (например, это справедливо для тела кватернионов), поскольку в этом случае любая инволю­ ция из GLn(K) содержится в SLn{K). Наконец, если ха­ рактеристика тела К равна 2, то сдвиги принадлежат группе SLn(K), однако метод, описанный в § 1, исполь­

образует сдвиги в сдвиги, переносится без изменений на автоморфизмы группы SLn(K), кроме случая п = 4. В этом последнем случае нужно использовать другой ме­ тод доказательства этого утверждения. Метод, указан­ ный в работе Дьёдонне [7], стр. 19, содержит ошибку, ис­ правленную Хуа и Ванем [1]. Учитывая все эти резуль­ таты, получаем, что для тела К характеристики 2 авто­ морфизм группы SLn(K) индуцируется автоморфизмом группы GLn(K) при любом п ^ 2.

Остается рассмотреть случай, когда п четно, характе­ ристика тела К не равна 2 и — 1 не принадлежит комму­ танту С группы К*. В этом случае экстремальные инво­ люции не принадлежат группе SLn{K). При п ^ 6 ме­ тоды, аналогичные методам § 1, могут быть применены к (2,п — 2)-инволюциям (которые всегда принадлежат группе SLn (К)), и это позволяет доказать, что и в этом случае всякий автоморфизм группы SLn(K) индуцирует­ ся автоморфизмом группы GLn(K) (Дьёдонне [7], стр. 20—21). Тот же результат получен Хуа [9] для п — 4 совершенно другим методом: вначале он изучает авто­

морфизмы группы SLn (К), образованной линейными преобразованиями, определитель которых равен единице или образу — 1 в группе К*/С, и показывает, что эти авто­ морфизмы индуцируются автоморфизмами группы GLn(K)\ затем, опираясь на этот результат, с помощью довольно сложного рассуждения он определяет в рассма­ триваемом случае все автоморфизмы группы SL4(/C).

Что касается группы SL2(K), то она не содержит ин­ волюций, отличных от единицы1). Для определения ее автоморфизмов достаточно было бы охарактеризовать сдвиги свойствами, зависящими только от структуры группы. В конце § 1 мы видели, что это возможно, если

разом, проблема остается открытой только в том случае, когда К — некоммутативное тело характеристики 0 и — 1 не принадлежит коммутанту группы К*.

§ 3 . Автоморфизмы г р у п п Sp2m(K)

Снмплектическая группа Sp2(IС) тождественна унимо­ дулярной группе SL2(K) ( г л . II, § 4). Поскольку тело К

коммутативно, ее автоморфизмы известны, согласно § 2 2). Таким образом, можно ограничиться размерно­ стями 2m ^ 4. При этом справедливо следующее утверж­ дение:

Всякий автоморфизм ср симплектической группы Sp2m(K) может быть представлен в виде ц>{и) = gug~l, где g е rSp2m(K) (гл. I, § 9), за исключением случая, когда m = 2 и характеристика поля К равна 2 3) .

154 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

Способы доказательства зависят от того, равна или не равна 2 характеристика поля К.

I. Характеристика поля К не равна 2. Первый способ доказательства использует инволюции в группе Sp2m(K).

чаются тем, что максимальная система попарно коммути­ рующих инволюций такого типа (которые всегда сопря­

жены) содержит (р") элементов. Другой способ отличить экстремальные инволюции состоит в рассмотрении числа

ѵ(и) — 8 в противном случае (Риккарт [2]). (При 2 т = 4 и 2 т = б все инволюции экстремальны.)

Затем вводится понятие минимальной пары экстре­ мальных инволюций. При 2 т ^ 6 это пары (и,ѵ), обра­ зованные экстремальными инволюциями, двумерные соб­ ственные подпространства которых имеют одномерное пересечение. Доказывается, что критерий Макки (для минимальных пар в группе GLn (К) ) и в этом случае ха­ рактеризует минимальные пары, и, следовательно, вся­ кий автоморфизм группы Sp2m(K) переводит минималь­ ные пары в минимальные пары (Дьёдонне [7], стр. 26;

Риккарт [2], стр. 710). При 2 т = 4 минимальной парой

называется такая пара (и,ѵ) некоммутирующих инволю­ ций, что одно из собственных подпространств инволюции и имеет одномерное пересечение с одним из собственных подпространств инволюции ѵ. Характеризация минималь­ ных пар в этом случае состоит в том, что централизатор пары инволюций (и, ѵ) разрешим тогда и только тогда, когда эта пара минимальна (в случае К = F3 минималь­ ная пара отличается порядком централизатора).

Используя полученную характеризацию минимальных