Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

пространства Р(Е), которое переводит любые две орто­ гональные прямые пространства Е в ортогональные пря­ мые и, следовательно, любые точки пространства Р{Е), лежащие в одной гиперплоскости, — в точки, лежащие в одной гиперплоскости. Применение основной теоремы проективной геометрии (гл. Ill, § 1) немедленно приво­ дит тогда к окончательному результату.

Хуа [5] получил этот же результат совершенно другим методом — индукцией по m с использованием описания автоморфизмов группы SL2{K), полученным в § 2. По­ скольку всякий автоморфизм ср группы Sp2m(K) перево­ дит экстремальные инволюции в экстремальные, доказа­ тельство можно свести к случаю, когда ср оставляет на месте одну экстремальную инволюцию и, следовательно, ее централизатор Г, который является прямым произве­ дением группы Sp2(K) = SL2(K) и группы Sp2m-i (К).

Далее доказательство сводится к случаю, когда ср оста­ вляет на месте все элементы группы Sp2m- 2(K) ■Оконча­ тельный результат получается с помощью исследования действия ср на некоторые подгруппы группы Г.

II. Характеристика поля К равна 2. В этом случае нужно выделить с помощью групповых свойств сдвиги среди всех инволюций в группе Sp2m(K). При 3 это достигается изучением централизатора инволюции в группе Sp2m(K) (гл. I, § 14) и доказательством (индук­ цией по /п) того, что группа Sp2m{K) не может быть изо­ морфна группе Sp2q(K) при q < n . Заканчивается дока­ зательство так же, как и в § I.

Если К — совершенное поле характеристики 2, то тео­ рема, вообще говоря, перестает быть справедливой при m = 2. Предположим, что существует такой автомор­ физм а поля К, что а2 совпадает с автоморфизмом х —*х2. Тогда можно показать (Тите [4]), что существуют авто­ морфизмы группы SptiK), переводящие сдвиги в (2,2)-инволюции. (Доказательство несуществования таких автоморфизмов, данное Дьёдонне [7], стр. 37—38, оши­ бочно.) В частности, поле К, состоящее из 2п элементов, обладает автоморфизмом о с указанным выше свойством тогда и только тогда, когда п нечетно. В этом случае можно доказать, что упомянутые выше особые

156 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

автоморфизмы вместе с автоморфизмами, описанными в начале этого параграфа, порождают группу всех авто­ морфизмов группы Spt(K) (Стейнберг [1]). Для других полей характеристики 2 полное описание автоморфизмов группы Sp4(/<), по всей видимости, получено только в случае, когда поле К алгебраически замкнуто (Стейнберг

[1]), стр. 614).

Учитывая, что симметрическая группа 06 изоморфна группе Sp4(F2), мы получаем известный факт, что груп­

= %(u)gug~\ где g <= Гип(К, f), а %— гомоморфизм груп­ пы Un(К, f) в ее центр.

Первый этап доказательства, как и в предыдущих параграфах, состоит в характеризации экстремальных инволюций группы Ѵп{К, f). Экстремальными инволюция­ ми в данном случае называются отражения относитель­ но неизотропных гиперплоскостей пространства Е. При п = 3 всякая инволюция экстремальна. При п ^ 4 ха­ рактеризация экстремальных инволюций получается ме­

разом, всякий автоморфизм ср группы Un(K,f) преобра­ зует отражения в отражения и тем самым определяет биективное преобразование ф множества непзотропных прямых пространства Е, которое переводит любые две ортогональные прямые в ортогональные прямые. Если индекс формы f равен 0, то можно применить к ф основ­ ную теорему проективной геометрии (гл. Ill, § 1) и по­ лучить отсюда окончательный результат так же, как в предыдущих параграфах (Риккарт [2]).

ким образом, чтобы любые две ортогональные прямые пространства Е по-прежнему переходили в ортогональ­ ные прямые. С этой целью заметим прежде всего, что множество неизотропиых прямых, принадлежащих од­ ной неизотропной плоскости Р, может быть охаракте­ ризовано как множество неизотропных прямых, ортого­ нальных к некоторой системе из л — 2 попарно ортого­ нальных неизотропных прямых пространства Е, и, следо­ вательно, переводится преобразованием ср в множество неизотропных прямых некоторой неизотропной плос­ кости, которую мы обозначим через ф(Я). Аналогичным

тропная прямая. Докажем, что если плоскость Р пробе­ гает множество 1(A) неизотропных плоскостей, содер­ жащих А, то плоскости ф(Р) содержат некоторую изо­ тропную прямую ф(Д). Это вытекает из следующего

При доказательстве этого предложения можно считать,

лее двух отличных от 0 значений в теле К. Рассуждение, аналогичное тому, которое проведено в работе Дьёдонне [13], стр. 374, показывает, что это последнее свойство всегда имеет место, если тело К бесконечно (если К не

коммутативно, то следует рассмотреть централизатор элемента а ) , а также если К конечно и подтело Ко сим­

метричных элементов содержит более 5 элементов. Слу­

15S Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

■ф(Д). После того как существование этой прямой дока­ зано, окончательный результат, как и выше, получается применением основной теоремы проективной геометрии.

Пусть, наконец, д = 3. Если J Ф I, то геометриче­ ское рассуждение позволяет продолжить преобразова­ ние ф на всю плоскость Р(Е), если только К содержит более 25 элементов (Дьёдонне [7], стр. 77—78). Анало­ гичное рассуждение применимо и к ортогональным группам, если К содержит достаточно много элементов; однако проще воспользоваться тем, что группа 0 3 ( К , f)

изоморфна группе PGL2(K), и применить результаты § 6. Относительно автоморфизмов оставшихся групп

U3(F9) и U3(F23) см. § 7.

Автоморфизмы унитарных и ортогональных групп над бесконечным телом характеристики 2 не определены.

§ 5 . А в т о м о р ф и з м ы г р у п п Ut (К, f)

(К — поле характеристики Ф2.)

Если п нечетно, то инволюции типа (1, п — 1) принад­

лежат группе Ut ( К , f), и рассуждения § 4 применимы

без всяких изменений. Напротив, если п четно, то экс­

функцию ѵ(и), не отличает, вообще говоря, эти инволю­ ции от других, поскольку могут существовать инволю­ ции других типов, для которых ѵ ( ы)= 8. В общем слу­ чае не известно никакого критерия, отличающего эти инволюции от других. Однако, если индекс формы / по­ ложителен, можно охарактеризовать инволюции типа (2,п — 2) или (п — 2,2), у которых (д — 2)-мерное соб­ ственное подпространство содержит изотропные векто­

волюцию одного из этих типов (там же, стр. 53—54).

er U~. В первом случае говорят, что инволюции и и ѵ иррегулярно перестановочны, во втором — что они регу­ лярно перестановочны. Для различения этих двух сортов перестановочности при п > 6 заметим, что иѵ принадле­ жит S тогда и только тогда, когда и и и иррегулярно перестановочны; при п = 6 необходимо другое рассуж­ дение (Дьёдонне [7], стр. 54 и 80). Назовем теперь ми­ нимальной парой элементов множества 5 пару инволю­ ций, 2-мерные собственные подпространства которых имеют одномерное пересечение. Для любых двух инво­ люций и, V из 5 обозначим через с'(и, и) множество ин­ волюций из 5, регулярно перестановочных с и и ѵ, и че­ рез с'(с'(и,ѵ))— множество инволюций из 5, регулярно перестановочных со всеми инволюциями из с'(и,ѵ). При таких изменениях критерий Макки (§ 1) будет характе­ ризовать минимальные пары.

Далее, исходя из автоморфизма ср группы Ut (К, /), так же, как и для группы Sp2m{K) в § 3, определяется биективное преобразование пространства Р(Е), и легко показывается, что оно переводит любые две ортогональ­ ные прямые пространства Е в ортогональные прямые. Как и в предыдущих параграфах, отсюда получается окончательный результат:

При четном п ^ 6 всякий автоморфизм группы U t (К, f), где К — поле характеристики Ф2, а J— эрми­ това (или симметричная) форма индекса ^ 1 , индуци­ руется автоморфизмом группы Un(K,f).

§ 2, если воспользоваться тем, что эта группа изомор­ фна группе S L 2 ( K o), где Ко — поле инвариантов