ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 0
160 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
антиавтоморфизма / (гл. II, § 4 и 5). Отсюда легко полу чить описание автоморфизмов группы U2(K,f) в этом же
случае, используя тот факт, что ее коммутантом является
как раз группа Ut |
(К, f). Для формы f индекса 0 |
авто |
||
морфизмы группы |
Ut (К, f) не определены. |
|
||
Автоморфизмы |
группы Ut (К, |
f), где |
J ф І и |
К — |
бесконечное поле |
характеристики |
ф 2, не |
известны. То |
|
же относится к группе ОІ {К, f) для формы / индекса 0. Напротив, для формы f индекса 2 автоморфизмы
группы Ot {К, f) можно определить. В самом деле, из
вестно (гл. II, § 9), что преобразования из |
Of {К, /) |
||||
молено отоледествить с преобразованиями X |
UXѴ~1 в |
||||
пространстве матриц 2-го порядка над К, где |
U и |
V — |
|||
такие |
обратимые |
матрицы, что del |
(U) = det(V) |
(при |
|
этом |
форма f(x,x) |
отождествляется |
с det(X)). |
При та |
|
ком представлении коммутант ЙД/С, f) группы О* (К, f) отоледествляется с группой преобразований описанного выше вида, для которых det(G) является квадратом в К. Поскольку всем парам вида (XU,XV), где X ф 0, соот
ветствует одно и то же преобразование из О*, группа й 4 изоморфна группе пар (U,V) с det(U) = det(V) =
=1 , рассматриваемых с точностью до одновременного
умножения U и V на — 1. Обозначим через Gі (соответ ственно G2) подгруппу группы й 4, образованную парами (U, /) (соответственно (І,Ѵ)), где U (соответственно V) — унимодулярная матрица. Подгруппы Gu Gz поэле ментно перестановочны; их пересечение G \ П G2 совпа дает с центром S группы Йі (а таіоке группы 0 4), со
стоящим из двух элементов; каждая из них изоморфна группе SL2(K). Следовательно, группа й 4 изоморфна
факторгруппе (Gt X Gz)/S (но не прямому произведе нию группы S и двух экземпляров группы PSLz(K), как ошибочно утверлсдает Хуа в [9], стр. 118). Подгруппа Gi (соответственно G2) молгет быть интерпретирована как подгруппа группы 0 4, сохраняющая все вполне изо
тропные плоскости, принадлежащие одному из двух
классов |
транзитивности группы вращений (см. гл. II, |
§ 6 и гл. |
Ill, § 4). Для всякого отражения s e O ( имеем |
sGiS-1 = |
Gz. |
§ 5. Автоморфизмы групп |
U^{K, f) |
161 |
Если поле К содержит более 3 |
элементов, то |
(гл. II, |
§ 2) группа SL2(K) не имеет нетривиальных нормальных
делителей, кроме центра. Отсюда немедленно следует, что в этом случае подгруппами Gb G2 и S исчерпывают
ся все нетривиальные нормальные делители группы EU и, значит,' всякий автоморфизм ср группы 0% либо ос
тавляет на месте каждую из подгрупп Gi, Gz, либо пере ставляет их. Комбинируя автоморфизм ср с внутренним автоморфизмом группы 0 4, порожденным отражением,
можно добиться того, чтобы он оставлял на месте Gj
и Gz.
Заметим теперь, что для любого автоморфизма о поля К и любых обратимых матриц А, В преобразова
ние X —►АХаВ~1 пространства |
матриц 2-го |
порядка |
ото |
ждествляется с полуподобием g е Г0 4(К, /) |
(оно преоб |
||
разует det(X) в (det(y4)) (d et(ß ))_1 (det(K ))a. Из |
вида |
||
автоморфизмов группы SL2(K) |
(см. § 2 ) 1) |
следует, |
что, |
комбинируя автоморфизм ср с автоморфизмом u —*gug~l,
можно добиться того, чтобы он оставлял на месте все элементы подгруппы Gz. Рассмотрим, далее, какой-ни будь автоморфизм т поля К и такой эндоморфизм Ѳ группы К*, что 0(g) 2 = І1-т для любого I е К*. Опреде
лим автоморфизм группы ОІ , ставя в соответствие каж дой паре ( U, V) (такой, что det(G) = det(K)) пару
(0(det(G )) Vх, V) = (Ui, Ki). Так как паре (XU, XV) при этом ставится в соответствие пара (XUi,XV\), то это отображение при факторизации корректно опреде
ляет автоморфизм группы Of, тождественный на под
группе Gz и совпадающий с преобразованием |
U -* |
Vх на |
|
подгруппе Gi (отождествленной |
с SLz(K)). |
Используя |
|
описание автоморфизмов группы |
SL2(K) (§ |
2 ), |
можно |
доказать, что, комбинируя автоморфизм ср с таким ав
томорфизмом и с автоморфизмом u-*gug~y, где g — по-
луподобие |
X —►АХ, можно |
добитьсяі |
того, |
чтобы |
он |
|
оставлял на месте все элементы подгрупп Gi |
и |
G2. |
Но |
|||
тогда он будет оставлять на |
месте все |
элементы |
из |
EU, |
||
и, поскольку квадрат любого элемента |
и е O t лежит в |
|||||
EU (гл. II, |
§ 6), такой автоморфизм должен |
иметь вид |
||||
‘) См. также примечание 2 на |
стр. 153. — Прим, перев, |
|
|
|||
6 Ж. Дьёдонне
162 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
и-+%о(и)и, где хо — гомоморфизм группы O t в ее центр 5. Это завершает описание всех автоморфизмов группы
0 4+ (Хуа [9]).
§ 6. Автоморфизмы группPGL„(K), PSLn(K), PSpim(K)
Принципиальная трудность применения предыдущих методов к проективным группам состоит в наличии в этих группах инволюций, которые происходят не из ин волюций в группе GLn(K), а из полуинволюций в этой группе (гл. I, § 3). Поэтому нужно, прежде всего, от личить (групповыми свойствами) эти инволюции «вто рого рода» от тех, которые происходят от инволюций в
GLn(K).
Рассмотрим вначале проективную группу PGLn(K), где п ^ 3 и К — тело характеристики ф2. Экстремаль ные инволюции в этой группе (происходящие из экстре мальных инволюций в GLn(K)) можно отличить от дру гих инволюций первым методом, указанным в § 1 , а
именно, рассматривая максимальные множества ком мутирующих сопряженных инволюций (Дьёдонне [7]). Исключение составляет случай, когда п — 4 и — 1 не яв ляется квадратом в К- В этом случае экстремальные ин волюции можно отличить от инволюций второго рода, заметив, что если и, и, и', ѵ' — четыре сопряженные ин волюции второго рода (соответствующие элементу у е К, не являющемуся квадратом), причем и переста новочно с V, а и' — с ѵ', то произведения иѵ и и'ѵ' не
обязательно сопряжены в группе PGLn(K). После того как получена характеризация экстремальных инволю ций, методом § 1 устанавливается, что всякий автомор
физм группы PGLn(K) получается посредством факто ризации из автоморфизма группы GLn(K). Результат остается справедливым при п = 2 (если характеристика
тела К отлична от 2). Это доказал Хуа [9] теми же мето дами, которые он использовал при определении автомор физмов группы GL2(K).
Если характеристика тела К равна 2, то инволюции второго рода в группе PGLn(K) (п ^ 2 ) легко отли
чить от остальных, заметив, что если и, ѵ — две комму-
§ 7 . Автоморфизмы групп P Un (K,f), P(J*(K,!) н РЙ „(К ,/) 163
тирующие сопряженные инволюции второго рода, то произведение ии никогда не сопряжено с и, в противо положность тому, что имеет место для инволюций из GLn(I(). После этого применимы методы § 1, и сформу лированный выше результат, следовательно, справедлив и в этом случае.
Аналогичные методы применимы и к группе PSLn(K), за исключением случая, когда п четно, характеристика тела К не равна 2 и — 1 не принадлежит коммутанту
группы К* (Дьёдонне [7], стр. 19). В этом последнем слу чае, чтобы отличить 2 -инволюции от инволюций второго
рода |
(при п ^ 4 ) , |
используют |
свойства централизато |
|
ров этих инволюций в группе PSLn(K) (гл. |
I, § 4). За |
|||
тем |
применяются |
методы § 2. |
Получаемый |
результат |
состоит в том, что во всех случаях, когда известны ав томорфизмы группы SLn(K), все автоморфизмы группы PSLn(K) получаются из них посредством факторизации.
Аналогичный результат получается и для проектив ных симплектических групп PSp2m(K). В этом случае
также все сводится к отличению экстремальных инволю ций от инволюций второго рода, что делается путем изу
чения централизаторов этих инволюций (см. гл. |
I, § 13 |
и 14, и Дьёдонне [7], стр. 32—34). |
|
§ 7 . А в т о м о р ф и з м ы г р у п п PUn(K, f), |
|
PUi (К, f) и PQn(K, f) |
|
Трудности, связанные с инволюциями второго рода, |
|
возникают и при определении автоморфизмов |
группы |
PUn(K,f). Положение осложняется тем, что методы § 6
применимы лишь при специальных предположениях от носительно тела К или формы f. Тем не менее Уолтеру f l ] удалось определить все автоморфизмы группы PUn(K,f) при п ^ 5 для любого тела К характеристики =т^2 , содержащего более 3 элементов. При этих условиях
всякий автоморфизм группы PUn(K,f) получается фак торизацией из автоморфизма группы U„(K,f) (эти ав томорфизмы описаны в § 4). Основная трудность со стоит в том, чтобы отличить экстремальные инволюции в группе PUn(K, f) от других инволюций, после чего рассуждения § 4 проходят без существенных изменений.
6*
