Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

ко для экстремальных инволюций, но и для некоторых инволюций второго рода. Уолтер рассматривает, далее, множество М всех инволюций в группе PUn(K,f), для которых ѵ(й) = 4, и для любых трех различных комму­ тирующих инволюций й, V, w из М рассматривает число

со(й, V, w) элементов множества с(с(й, ѵ, w)) (где c(S) имеет тот же смысл, что и в § 1 , но в применении к рас­

сматриваемой группе PUn(K,f)). Пусть со(й) обозна­

томорфизмы найдены в § 5. При четном п метод состоит

вотличении неэкстремальных инволюций от таких экс­ тремальных инволюций, собственная гиперплоскость которых содержит изотропные прямые, при помощи свойств централизаторов этих инволюций. Это делается достаточно легко путем рассмотрения первых двух ком­ мутантов централизатора и использования того факта, что квадрат всякого элемента группы On(K,f) принад­ лежит ее коммутанту. Окончательный результат состоит

втом, что всякий автоморфизм группы РОп(К, f) полу­

ство которой содержит изотропные прямые, не может быть изоморфен централизатору инволюции второго рода. Это делается путем рассмотрения в этих двух централизаторах максимальных систем коммутирующих инволюций и доказательства того, что они состоят из разного числа элементов. В рассматриваемых случаях

пользуя особую структуру группы ОІ (К, /), такими же рассуждениями, как в § 5, можно показать, что этот ре­ зультат справедлив и при п = 4 (исключая, быть может, случай, когда /( = F3 и f — форма индекса 2 ).

Воненбургер [4] распространил предыдущие методы

и результаты на группы PO t (К, f) для формы f индек­ са 0 при п ^ 5. При п = 8 происходят особенные яв­

ления, связанные с так называемой «тройственностью» (см. Э. Картам [2], Шевалле [1], Спрингер и Ван-дер- Блей [1]). А именно, могут существовать автоморфизмы

группы РОІ (К, /), преобразующие 2 -инволюции в инво­

люции второго рода. Для того чтобы это было возмож­ но, необходимо и достаточно, чтобы поле К было пифа­ горовым и чтобы для подходящего а форма а/ обладала ортонормированным базисом (Воненбургер [5]).

Кажется правдоподобным, что, комбинируя метод, используемый для отличения инволюций второго рода от 2-инволюций в группе РОt (К, f), с методом, позво­

них, следуя методу, систематически развитому Ван-дер-

нее произведение двух бивекторов х, у представляется в виде f(x, y)et А е2 А е3 Л еіг где / (х, у) — невырожден­

ная симметричная билинейная форма на В, индекс кото­ рой равен 3. Соотношение f(x,x) = 0 означает, что х — разложимый бивектор (соответствующий 2-мерному под­ пространству пространства F). Следовательно, грассманиан Gi (В) может быть отождествлен с квадрикой в 5-мериом проективном пространстве Р(Е), определяе­

в себя. При этом, поскольку «соседние» точки множе­ ства Gi{F) (в смысле § 2 гл. Ill) характеризуются тем, что прямая, соединяющая их в Р(Е), лежит в Gl(F), преобразования й и й~1 переводят соседние точки

‘) Под det (о) здесь понимается определитель матрицы преоб­ разования о в базисе (е.) (или в любом базисе, для которого оп­ ределитель матрицы перехода от базиса (е<) равен 1). — Прим,

переѳ.

163 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

всоседние. Следовательно, можно применить теорему Чоу (гл. Ill, § 2), которая позволяет заключить, что если

йне переставляет два класса плоскостей Nt (Е), N t (Е) квадрики Gi(F), то существует такое полулинейное пре­

то преобразование и является произведением второй внешней степени полулинейного отображения простран­ ства F на пространство F* (т. е. корреляции простран­ ства F) и канонического отображения (определенного с точностью до множителя) пространства бивекторов над F* на пространство бивекторов над F. В первом слу­ чае, если V линейно, то и является прямым подобием4) относительно формы /, и обратно. Таким образом, ото­ бражение (р, ѵ) —►рсД2> является гомоморфизмом пря­

мого произведения К* X GLi(K) на группу GOt {К, f) прямых подобий относительно формы /; ядро этого го­

скольку всякая невырожденная симметричная билиней­ ная форма индекса 3 на Е эквивалентна форме / (гл. I, § 11), тем самым получается типовой изоморфизм для ортогональных групп таких форм.

Помимо этого, метод Ван-дер-Вардеиа основывается на следующих двух замечаниях:

1°. Пусть f — невырожденная симметричная билиней­ ная форма на n-мерном векторном пространстве Е над полем К и Н — неизотропиая гиперплоскость в про­ странстве Е. Обозначим через /і ограничение формы f