Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 168

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 8. Изоморфизмы классических групп

169

для которой уравнение и{х) = 0 определяет гипер­

плоскость Н.

 

что [К- /Сі] = 2,

2°.

Пусть Кі — такое подполе поля /(,

и о —

нетождественный /^-автоморфизм

поля К■ Тогда

I руппа

GOn (К\, f)

естественным образом отождеств­

ляется

с подгруппой

группы GO]І (К, f), образованной

преобразованиями, коммутирующими с полуинволю-

цией ( ^ ) - > ( |;°), принадлежащей группе ГОп(К,!)

(где

£,• — координаты точки пространства Е в некотором

ба­

зисе *)).

 

Всякая невырожденная симметричная билинейная

форма после некоторого числа последовательных квад­ ратичных расширений становится формой максималь­

ного индекса. Поэтому для любой группы ОІ при п ^ 6

можно

получить некоторый

канонический

изоморфизм,

если перевести предыдущие

условия

на язык фактор­

группы

К* X G L i ( K ) , изоморфной

группе

GOß (К, f)

посредством описанного выше изоморфизма (для фор­ мы f индекса 3).

Таким образом получается 18 типовых изоморфиз­ мов для групп On при 3 ^ п ^ 6. Они были частично перечислены Ван-дер-Варденом (см. [1], стр. 18—28, где можно также найти список предыдущих работ по этому вопросу) и полностью — Дьёдонне ([14], стр. 200—225). При этом используется, помимо прочего, общая про­ цедура, описанная в § 15 гл. I.

Мы ограничимся здесь указанием получаемых таким

образом типовых изоморфизмов между

простыми или

полупростыми группами (следовательно,

для ортогональ­

ных

групп,

соответствующих формам индекса ^ 1 ) .

1 )

п =

6, f — форма индекса 3. Отождествим форму

f с рассматривавшейся выше формой в пространстве Е бивекторов над пространством К'н Гомоморфизм ѵ —>■ѵ№ посредством факторизации определяет изоморфизм

группы PSL4(K) на группу PQe(K,f).

2) п = 6, f — форма индекса 2. В некотором базисе пространства Е форма f записывается в виде f (х, х) =

‘) Предполагается, что коэффициенты

билинейной формы f

ѳ этом базисе принадлежат полю К\. — Прим,

перев.

170 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

= а{%\ +

afe\ — 121ъ+ £3g6,

где

элемент — й4/йі

не

яв­

ляется квадратом в /(. Дискриминант А =

аій4 формы f

обладает тем свойством, что —А не является квадратом

в /(. Пусть К \ = К І У —А )— квадратичное

расширение

поля /(, получаемое присоединением корня со многочле­

на

а Д 2 -)-а4. Рассмотрим косоэрмитову

форму g (z, z ) =

= 1 \1г — Ы,\ — öi (S3C4 — І4?із)

индекса

2 в пространстве

Ки

Имеется изоморфизм группы РІІІ (Кi,

g)

на группу

PQe(K-f), определяемый следующим образом: каждому

элементу

v ^ U t ( K i , g )

сопоставляется

матрица

преоб­

разования оР) в базисе (<?г)1<і<6 пространства Е бивек­

торов над К\, задаваемом формулами

 

 

 

 

 

 

е\ =

(ае1 Л е2 + е3 Л е4)/2соа,,

е2' — е{ А е ѵ

 

e3 =

e ,A e 4,

е\ =

(сое, Л е2 — е3 Л е4)/ 2со,

 

е' = е2 Л е 4,

е' = е2Д е 3,

где (е<)1<і<4— канонический

базис

пространства

К\

над Кг, далее производится факторизация

по центрам.

3)

п = 6, f — форма

индекса 1

 

с таким

дискрими­

нантом А, что —А является квадратом в поле К. В не­

котором

базисе пространства

Е форма

/

записывается

в

виде

/ (х, х) = а,£2

а,£2 — a.ß, — «3£2 +

ё3^6,

 

где

йій5 = й2й.|. Пусть Кі = /С(со), где ш имеет тот же смысл, что в 2), II Кг — тело кватернионов над К, соответствую­ щее паре (—й4/йьй|й2). Тело Ко можно'рассматривать как 2-мерное правое векторное пространство над Кг, при этом его базис составляют единица и такой элемент

р, что р2 = йій2 и £р =

р£ для всякого £ <= Кі. В этих

обозначениях имеется

изоморфизм группы PSL^iKo)

на группу PQs(K,f), который строится следующим об­

разом. Будем рассматривать

пространство

{Ko)2d

как

4-мерное векторное пространство F над

Кі- Пусть

(<?г) і< г<2 — канонический базис

пространства

(ЛГ2)|;

тог­

да векторы ві, е%, ещ, е2р составляют базис пространства F. Каждому элементу ü e S L 2(K2), рассматриваемому как линейное преобразование пространства F, поставим в соответствие матрицу преобразования ц(2) в базисе

 

§ 8.

Изоморфизмы классических групп

171

(б,()і< ( < 0

пространства Е бивекторов над F,

задаваемом

формулами

 

 

 

 

е' =

(сое, Л е, — а-'е,р Л e2p)/2a>a,,

 

е' =

(ше, Л е2 +

а“ 'е,р Л е2р)/2а>,

 

 

е2=

(а7 1(а<гі Л

— еіРА е2у 2 а а 2,

 

 

е 'ь=

(аГ1соеі Л е2р + еіР Л е2)/2 со,

 

 

е' = е, Л е,р,

е' = а~хе2 Л е2р.

 

Далее произведем факторизацию по центрам.

4)

іі — 6, f — форма индекса 1 с таким дискриминан­

том А, что —А не является квадратом в К (этот случай не может представиться, если К — поле действительных чисел). В некотором базисе форма f записывается так же, как в 3), но без условия на коэффициенты а;. Обо­

значим через

со,

как

и

выше,

корень

многочлена

аіХ2-f- ß4 и через

со' — корень многочлена

а2Х2-f- а5.

Положим Кі =

К {со),

К\ =

К (со7).

Расширения К\, К\

линейно свободны над К и, следовательно, их композит

К з =

К(а, а')

является расширением Галуа 4-й степени

над

К\ оно

содержит поле

До =

Д (]/~ Д ) — К (сосо').

Пусть L — тело кватернионов

над

Ко, соответствующее

паре (—aja\,

аф2). Его можно рассматривать как 2-мер­

ное правое векторное пространство над Кз', при этом его

базис составляют единица и такой

элемент р,

что р2 =

= аіаз и £р = рі для всякого £ <=

Кз, где

есть К-

автоморфизм поля Кз, меняющий знаки у со и о/. Опре­

делим инволюцию J тела L таким образом,

чтобы ор =

= —со, cü/j =

со',

pJ =

р. Заметим, что это

инволюция

второго рода

(гл.

II, §

5).

Рассмотрим на La

косоэрми­

тову

форму

индекса

1 ,

записывающуюся

в виде

g(z,

z) = £fg9—

Тогда

имеется изоморфизм группы

T2(L,g)iW2 (см. §

4 гл. II)

на группу PQs(K,f), который

строится следующим образом. Пространство La рас­ сматривается как 4-мерное векторное пространство F над К; если при этом (еі)1<1<2— канонический базис

г)

4

пространства La над L, то векторы еь е2, вф, е2р состав­ ляют базис пространства F над Кз- Каждому элементу

172Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

ѵ^T%(L, g), рассматриваемому как линейное преобра­ зование пространства F, ставится в соответствие мат­ рица преобразования vW в базисе (е01<£<6 простран­

ства Е бивекторов над F, образованном элементами

 

е ' =

(сое,

А

е2— а2 'е1р Л

е 2р ) / 2 с о а , ,

 

е\ =

(сое,

Д

е2 +

a - ' e , p

А

е 2р ) /2 < о ,

 

е 2 = ( а ~ Ѵ е , Л е 2р — е ,р Л е2) / 2а'а2,

 

е5'= (а~]а>'е1 Л

е 2 р +

е ,р

Л е2) / 2и>',

 

ез — еі ^

еіР>

е6' =

а2 'е2 /\ е2р.

Далее

производится

 

факторизация

по центрам.

5)

п — Ъ, f — форма индекса 2.

Можно считать, что

в некотором базисе пространства Е форма f записывает­

ся в виде f (X, X) =

— 12| 5 + Щ. Рассмотрим на /С4 зна­

копеременную форму

g(x, у ) =

+ Ь’Щ— ІЩз-

Имеется изоморфизм группы PSpi(K,g) на группу

PQs(K,f), определяемый следующим образом. Для каж­

дого элемента

v е Spi,(K, g)

рассматривается матрица

преобразования

ц<2> в базисе

(е/)і<і<6

пространства

Е'

бивекторов над

образованном бивекторами

 

е[ = е, Л е2,

е' = е ,Л е3,

е3'= (е, Л е4+ е2 Л е3)/ 2 ,

Л

е5 = е2Л 64,

е3

(et Л 64

62 Л ®з)/^>

где (^i) I с / с 4 — канонический

базис

пространства

Kk.

Преобразование о(2) сохраняет подпространство, порож­

денное бивекторами е\ с индексами і sgi 5,

которое

отождествляется с пространством Е. Элементу

ѵ ста­

вится в соответствие матрица ограничения преобразова­

ния

на подпространстве Е в базисе (а;)і<(<5- Затем

производится факторизация по центрам.

6)

п = 5, f — форма индекса 1. Можно считать, что

в некотором базисе пространства Е форма f записывает­ ся в виде / (х, х) = а,£2 + а4| 2 — | 2£5 + £2, причем эле­

мент —a ja I не является квадратом в К. Положим /(і = = К (а), где ш, как и выше, — корень многочлена а1Х2 + -(- Рі- Пусть, с другой стороны, L — тело кватернионов

Смотрите также файлы