Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

Я

3

г

S

я

о

О

о

о

о

0

1

о

1

0

1

о

0

1

о

{

і

о

о

і

о

0

1

1

о

о

1

1

0

1

1

о

1

0

і

і

1

1

1

1

На эту таблицу можно взглянуть как на две функции

S (Я, В,г) и

^-логические функции .от трех логических переменных

Д<в,г.

Do теореме (см,

стр. 39) любую такую функцию можно записать в ви­

де высказывания,

в котором используются связки конъюнкции,

дизъюнк­

ким образом,

трех

сортов:

оди н

один

н е менее

оди н

н е л /е н е £

А (U)

Н С

У (или) І м д

âèyr Sxoâcl

è u w ü

быхос)

Имеем .

,

Я(Й,3,г) = (й л& л г) ѵ (Д л В л г )

ѵ ( Д л В л г )

ѵ (ДлЗ лг)

S(d,8,z) = (ЯлВлг) ѵ(ДлВлг) ѵ (влВлг) у ( ДлВлг) .

Этот

вид функций получен так: замечаем те

строки

значений

Я, В,г,

где Я

или

S

равно I . Там же

будет равна единице

соответствующая

конъюнкція. Например, шестая строка таблицы даёт

Я го, U )

= /,

S (о,і,1) =о.

Но . Я л

в

л г - /

на том же наборе.

Эту

для Я (не для

3

) .

Однако ещё рано

строить сумматор, так как он будет громоздким.

Функции Я

(Я,В,г)

и

S (Я, В, г)

можно упростить.

• Так,

Проверю док

S ( й

г)

по таблице истинности.

fl

ß

г

й а В лъ Результат

вѵѣ ѵъ

R

й й ѵ в ѵ г ) л £

о

о

0

О

О

о

У

О

0

1

о

о

У

У

1

У

I

о

о

о

У

У

і

У

1

у

о

0

0

У

о

о

0

о

1

о

1

У

1

У

о

1

1

о

о

У

о

0

у

о

1

о

О

У

- о

о

У

1

1

1

1

У

о

о

считает,

что "из X

следует

Y

” , такое высказывание истинно,ecjtt,

во-первых, при X

истинном высказывание Y . не может быть ложным,,

т .е . у

обязательно

истинно,

и ,

во-вторых, высказывания X , V

для$ Г 1 Г

\

видное)Я<^§?ж

x ä делится на 3" является истинным высказыванием.

Житейская формулировка истинного

высказывания: "Если бы Дос­

тоевский прожил 150 лет, то он попал

бы на свой юбилей".

ем замену на отрицание, но утвер

дение истинно.

Вывод. Важно, что когда X

истинно,

то у не должно

быть

ложно.

7 . Об употреблении символов

В высшей школе употребление

символов ( ѵ , з , =>) стало

привыч­

ным. Здесь их используют чаще всего

сокращения записи.

Вопрос

Опасность состоит

в том, что, во-первых,

эти символы надо

употреблять со знанием дела. Например, запись

((х-И)(х-£) = о)

<=*■

( ( х = -I) V c x= f))

бессмысленна. Во-вторых, иногда пишут

употребление знака равносильности ф=ф

при доказательстве

нера­

венства или при тождественном преобразовании. Как известно,

при

венства (т.ѳ . в этот момент в цепочке появляются знаки

=?

) ,

схема такова:

в

(исходное)

<*=?>ß (оче­

Но теперь следует совершить "обратный ход" и проверить, верна

ли схема

я

=* а

, = > . . . = * я,

= * Я.

Если же Вы написали (сразу

или раздельно, т .е .

так, как

здесь было

только что

описано)

знаки

(<=$•)

в схеме ( в

-£> Я, фф

фф

fl 4Ф-.. .фф

Ф? в) ,

то непонятно,

сделали ли Вы это сознательно

§ 8 . Элементы и множества

"Множество

есть многое, мыс­

лимое как

единое".

Кантор,

немецкий ученый.

этом смысле

неопределимо.

Наглядно множество можно понимать как совокупность предметов .

произвольного рода, рассматриваемую как самостоятельный объект.

Слово "множество" есть математический термин,

являющийся синони­

мом таких

слов как "совокупность" "собрание",

"набор",

"система”

и т .д . Предметы, составляющие

множество, называются его

элемента­

ми. Если

й

произвольное множество, то тот факт, что х

есть

элемент

й,

записывается так:

х е й .

Следует

отметить, что для точной теории

те наглядные пред­

не существенны. Важны только формальные свойства

отношения х е й-

('.X

есть

элемент й

) . Эти свойства даются системой аксиом и тео­

рем множеств, которые мы приводить не

будем.

Некоторые из объектов называются элементами, другие - множе­

ствами. Отношение

х = у

означает,

что

объекты,обозначаемые

символами X ,

а , совпадают. Отрицание

этого отношения записывает­

ся

так: X Фу.

Если X

-

множество,

то

отношение х е Х

означает, что х

есть

элемент множества X

или что х

принадлежит X . Отрицание

этого

отношения записывается так

: х

фХ ■

Если

Х

и

Y

-

два множества,

то отношение X с у

означает,

что каждый элемент множества X

является

элементом множества У

(равносильно

высказыванию (Ух) ( х е X ^

х е У )

) .

. Ясно,

что

X

,

и,

если

X < = Y ,

Y ^ X ,

то

X

^ Z -

Если

X c Y

и

Y c X ,

то

х

- Y ,

т .е . два равных множества состоят

из

одних и тех

же элементов

(равносильно

высказыванию

( ( Х с у ) л ( У с Х ))

( Х = У ) ) .

Если

Х с у ,

говорят,

что

х

является подмножеством У

Отрицание

отношения

X c Y

записывается так:

X Ф У .

Если даны множество X

и свойство

Р

, то

существует единст­

венное подмножество

й

множества

X ,

состоящее из всех

тех эле­