Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

изображает произведение множеств R *Ж

(иногда шпцут Ж1, ) .

Одно множество Ж совпадает

с осью

абсцисс

(ось Ох ) . Другое мно­

жество JR совпадает с осью

ординат

( ось 0<j

) . Каждая точка плос­

ствует

паре (Х<р-

2 .

Если X - { х е Л 2 / а

е x ^

Ь), Y - { y e R l c e ^ e d ^ тогда

Z -JfxY = { (x,<j)e Ф . * Щ х е Х ,

— в

прямоугольной

системе

координат это все.точки,

лежащие внутри

прямоугольника

и на его

вершины суть

(а,с ),

CC^L);

( 6 , d )

; (Ь,с).

Задача ! .

Верно ли

равенство

cX*Y) п (ZxV) = ( X nZ) х CfnV)?

Задача 2 . Верно ли

равенство (X*Y) и ( £ х У ) = (X u Z ) * ( Y u V ) ?

Задача 3 . Если в

задачах 1 ,2

невозможно равенство, то на ка­

кой знак включения заменить знак равенства?

Замечание. Доказательство предложенных в задачах I и 2 ра­

венств

проводится так же,

как доказательство теоремы Х П ( Y и 1 ) =

=(Х nY)

и

(XпЗ.:).

Только

здесь

рассматривается множество. пар.

Так,

если

H = ( X * Y ) n ( Z *Ѵ) ,

. то элементом множества Н

служит упорядоченная пара

(X, у).

Пусть ещё

<3= ( X nZ) х

у ( Г п Ѵ ) .

/

Докажем,

что справедливо включение

G с. Н ,

т .е .

если

cx.tj)

,

то

(х,у)£Й..

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

c x , y ) e G ,

но это

значит,

что

х е (Хпі)

и

!je ( Y n V )

,

что можно записать в такс« виде: х е Х

и Х е £ ,

а также

у<f Y

и

уеѴ -

Если же х е X

,

то,

по

определению,

пара

ex, у )

е

( X * Y ) .

Аналогично (х,у!<г

( 2 * Ѵ ) .

иледовательно, пара ( х , у / е (Хх у )

и (Х,у)е. ( 2 * Ѵ ) .

Отсюда ( э с , у ) е ( ( Х х У ) П ( 2 х V ) ,

т .е . мы

доказали, что если

(X , у ) £ Ст ,

то (дс,

короче,

Сг с Н .

Обратное

включение

Н с G

доказывается аналогично.

Задача 4 . Докажите сами, что

Д с . & .

Язык теории множеств используется

при решении систем алгебраи­

Г л а в а

Ш

ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ.МЕТОДЫ, ПНШЕНЯЕМЫЕ В ГЕОМЕТШИ

§ I . Математические предложения

Геометрия изучает свойства фигур и их

взаимоотношения. Резуль­

таты этого изучения формулируются в виде

п р е д л о ж е н и й

ит из дцух

частей: первая, называемая коротко

у с л о в и е м ,

указывает

на совокупность всех имеющихся на лицо условий;

вторая-

з а к л в ч е н и е

-

выражает тот факт, который в

силу

этих

условий неизбежно имеет

место ("из й

следует В

" см.

гл .2 ,§ I ) .

Так,

в следующем предложении: "Два количества й

и в ,

рав­

ные одному

и тому же третьему С

, равны между

собой"

- условием

является

такая

ч^сть

предложения: "количества й

и В

порознь

равны О ";

заключением -

"эти два

количества й

я В

между собой

равны".

Среди предложений имеются такие, которые принимаются как оче­

видные без

доказательства. Их называют

а к с и о м а м и

. Т а ­

ложения называются т е о р е м а м и

и должны быть доказаны при

помощи особого рассуждения .Чтобы провести

это

рассуждение,

надо,

основываясь на условии теоремы и предполагая,

ч т о

э т о

у с л о в и е

в ы п о л н е н о

(опять

см. гл .2 ,

§ 6 ,

Замеча­

ние о логическом выводе), вывести из

него

факты, указанные

*

в

заключении.

,

быть при этом верным в силу определения этих

новых элементов. В -

таком случае говорится, что оно

верно

п о

п о с т р о е н и ю ) ;

3 . ° вытекает из аксиомы;

4 . ° вытекает из одного из

предыдущих доказательств.

В геометрических рассуждениях ни одно положение не должно

считаться верным иначе, как в силу одной из

этих четырёх причин.

Предложением,

о б р а т н ы м

данному предложению, назы­

частях; одним словом, две равные фигуры представляют

собою одну

и ту же фигуру, расположенную в двух различных местах

(мы приво­

метрией"

Погорелова, § 2 ,

изд. "Наука", Москва, 1972 год или

с

учебником

по геометрии для УІ-УШ классов

А.Н.Колмогорова и д р .) .

§ 2 . О методах,

применяемых в

геометрии

ще, так,в частности, для решения задач.

Действительно, учащийся должен твёрдо знать, что для

того,

нию о геометрии, мало

понимать предлагаемые ему рассуждения;

он

должен в той или иной

мере научиться самостоятельно строить

на

Указания, которые мы здесь хотим сделать,

вытекают просто

из

здравого смысла. Среди них нет ни одного,

которое не могло

бы

ют при решении

элементарных

задач. То же самое имеет место

чаще,

чем это можно

было бы доыать, при изучении более или менее

высоких

областей

математических

наук.

заключение—то будет одинаково удалена от его сторон

ДВ

и ЙС.

Мы должны вывести второе из

первого,

т .е . п

р е д

с т а ­

в и т ь

свойства, выраженные в условии теоремы, в

т а к о й

ф о р м е

, чтобы из

них получить

свойства,

составляющие

её

заключение.

Очевидно,

н е о б х о д и м о

п р е ж д е

в с е г о

т о ч н о

з н а т ь ,

в ч ё м

с о с т о и т

у е л о

в и е

и

в

ч ё м

з а к л ю ч е н и е

т е о р е м ы .

Следовательно, учащийся должен прежде всего учиться их уверенно

формулировать.

2 . Но

этого

ещё мало, и мы можем теперь

сделать

первое

важное

заключение

теоремы верно, если предположить, что

у с л о в и е

т е о р е м

ы

в ы п о л н е н о .

Если бы условие теоремы не

дённом в .предыдущем

пункте,

точка И

не лежала бы

на биссектрисе,

то она не была бы,

как мы

знаем, равноудалена от

сторон угла.

Очевидно, что

не имеет

смысла делать какие-либо

предположе­

ния, если не пользоваться ими в своих

рассуждениях,

иначе говоря,

Мы видим,

таким

образом, что

в

р а с с у ж д е н и я х

н

е ­

о б х о д и м о

и с п о л ь з о в а т ь

у с л о в и е

т е о ­

р е м ы

и даже

и с п о л ь з о в а т ь

е г о

п

о л н

о ­

с т ь ю .

3 .

Несколько ниже мы ещё вернемся к только что изложенному

правилу. Но раньше мы должны дать

ещё одно

правило,

вполне анало­

гичноепредыдущему. На него надо обратить

особое внимание,

так как

о нём чаще всего забывают несмотря на то,

что оно является

совер­

шенно необходимым. Это правило относится к

о п р е д е л е н

и -

я м

тех

понятий,

которыми мы пользуемся.

С одной стороны, очевидно, что мы не можем пользоваться в на­

ших рассуждениях такими понятиями, которые

не были нами

определены;

с другой стороны, понятно, что не пользоваться каким -либо

опреде­

лением при доказательстве всё равно, что не знать этого определе­

ния.

Мы видим, таким

образом,

что

прежде всего необходимо

и

с ­

п о л ь з о в а т ь

о п р е д е л е н и е

каждого из

тех

по­

нятий,

которые нам встречаются.

Пример. Возьмём снова ту же теорему:

"Любая точка,

лежащая

на биссектрисе угла,

одинаково удалена от сторон угла”.

Мы должны прежде всего задать себе следующие вопросы:

Что

значит,

что

прямая ДМ

есть

биссектриса угла?

(в

угле

ВДС).

Ответ. Это

значит, что она делит угол

ВДС

на две

равные

части.

Что называется расстоянием точкиИ

от

прямой

ДВ

?

Ответ. Длина перпендикуляра,

опущенного

из точки М

на пря­

мую ДВ ■

~~

После этого формулировка теоремы принимает следующий*вид:

I ^МДД = Z МДЕ

СМАД

-

ИДЕ ).

Условие, /

М Д

перпендикулярно к

ДД .

[ ME

перпендикулярно к

ДЕ .

Заключение.

М Д = М Е .