Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

ментов х е Х ,

для которых истинно

Р(х).

Это подмножество

д =

{ x e X l

PCX)} ■

Например, отношение

{ х

e X l P c x ) }

a f x e X I

а (X)}

равносильно

высказыванию (Vx)(PCX)

=> сих>) - Отношение

же [ х е X

I РСх)} = ( х е Х I Qcx)}

равносильно высказыванию ( Ѵх),

(Р(х)

«■

Q(x)). Множество

ф = f x e X / x Фх}

не

содержит

элементов

и называется

пустым.

Если

а

- некоторый объект, то множество

в ,

имеющее а

своим единственным элементом, записывается так: й - ( а ) .

Если множествоß

состоит

из конечного

(и

небольшого) числа

элементов

аг

а£ ,..., а п ,

то

пишут

ß = {

й,

, в £

.

ства

(в виде формул,

неравенств или словесно). Например,

{ X E R. I X2 -8 х + ! 5 = о } .

Но,

решив квадратное

уравнение,

мы увидим,

что

С-{3.5} ,

т .е .

является конечным множеством.

Примеры множеств точек М

на плоскости

:

1) S)= { М е ы / ОМ £ R } ,

где Оеаі - заданная

точка.

Тогда

Ю

представляет из

себя

круг

радиуса Я

с

центром в точке о.

2) Е ~ { и еы. ) х в о м

~ X MOß}.

Здесь й е ы ,

о е ы , ß е ы -

фиксированные точки. Тогда Е -

множество точек

биссектрисы ОМ

угла

eoß.

F = { е М 41 у =ft(x)

,

где

ttcx)

-

количество простых чи-

чел, не превосходящих х ,

х е R 4 } .

Здесь

R* - множество дей­

ствительных неотрицательных чисел,

N * -

множество натуральных

чисел и число нуль. Ещё пример. Множество решений системы

J 3 x . + J h j

*ч

\

6 х

+ 8и =і&

то ли множество цифр, встречающихся лишь

конечное число

раз в

десятичном разложении числа 1C.

§ 9 . Операции над множествами

Множества могут задаваться с помощью исходных множеств и не­

которых связок (операций).

два множества, что Y c X ,

Определение I . Если I

і У

такие

то множество { х е Х / х ф Х } ,

являющееся подмножеством X ,

назы-

вается

р а з н о с т ь ю

между X

и У

или

д о

п о л -

н е в и е і і

Y

в Х

и обозначается

символом X ѵ Y

или

Сх У

(иногда

С У ,

если

не

возникает

путаницы).

Определение

2 . Пусть X и

Y

-

два множества. Существует

множество, состоящее из элементов, принадлежащих и X

и Y ,

именно множество

{ х е X /

х е У }

. Оно называется

п е р е с е ч е

н и е ы

Jlf

и Y

и

обозначается символом X п У.

Определение

3 .

Объединением X

и У

(обозначение

Х и У )

называется множество элементов, каждый

из

которых принадлежит

по крайней мере одному из двух множеств

X

и У

Отметим, что если множества X в У

являются подмножествами

некоторого (оно называется универсальным)

множества U , то толь­

Х п У = У г \ Х ■

X u Y - Y и Х і .

X п X - X

■,

Y u Y = У;

X n ( Y u Z )

= ( X n Y ) u ( X n Z ) ;

X и ( Y n Z ) = ( X U Y ) П CXuZ);

X П р = ф ;

X и и = U ;

X ПЦ - X ;

X и р = Х ,-

С(Х ПУ) = (СХ) и (CY) ;

С ( Х и У ) = ( С Х ) п(СУ) ,

Приведем пример такого

рассуждения.

ТЕОРЕМА. X n ( Y u Z ) =

( Х п У ) ѵ ( X n Z ) .

_

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть множество Я=Хп ( Y u 2 )

и множество

ПРЯМОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ. H^â-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

х е И.

Это значит, что

х е Х

и

х е ( У и Я ) ,

а

последнее

означает,

что

х е У

или

х е Я .

Итак,

если

х е Н ,

то х е X , X e Y или

х е У ,

. х е Ж .

Рассмотрим

множество

Q.

Элемент х

обязательно принадлежит X.

Если

x e Y ,

то х е ( Х п У ) ,

и,

значит,

x e G ,

Если же

х е Я ,

то

х е С Х п Я ) , ' и

опять

х е О .

Итак, если хеН ,

то x e G ,

Отсюда

н е й .

ОБРАТНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ.

G<=H.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

x e G .

Это значит,

что

или

х е

(ХпУ),

* т .е .

х е Х , хеУ

,

или хеСХпЯ),

т .е .

х е Х ,

х е Я .

Отсюда,

если

x e G ,

то

x e X t,

обяза­

тельно и верно одно из утверждений:

х е

У

или

х е Я . г

Рассмотрим множество

Н = Х п ( У иЯ).

Видим,

что

х е ( У и Я ) ,

ибо

х е у

или

х е Я .

Кроме того,

х е Х

обязательно.

Следовательно,

х е Н .

Итак,

если

x e G ,

то

хеН . ,

т .е . верно включение

Gati.

Объединяя

оба

результата

Н с. G

и

G с и

,

получим, что

H=G.

В помощь подобному

рассуждению разрешается пользоваться

диаграммами

Эйлера-Венна, но теорема считается доказанной только

после

рассуждения.

подмножества г/ изо­

заштриховано множест-

выделено штрихами

бражаем овалами

во У о Я

множество Н. ■

выделено множество

отмечено множество

множество G заштри­

ХпУ

хпЯ

ховано

Диаграммы (правые крайние) иллюстрируют, подтверждают (ңо

ни в ком случае не заменяют))

рассуждения,

приведённые выше.

Кроме перечисленных трёх операций над подмножествами, можно

задавать и другие операции. Но здесь (как и в случае логических

связок)

справедливо утверждение,

что любую новую операцию над

подмножествами можно выразить через основные три операции: взятие

дополнения,

пересечения и

объединения.

Весьма распространена операция, называемая

с и м м е т р и ­

ч е с к о й р а з н о с т ь ю .

Это по

определению

( X u Y ) п (с ( XnY) ) .

Обозначение X a Y ,

то есть

йГ лУ

= 7X u Y ) п (С (X nY)).

Её употребляют в теории меры, в обосновании понятий площади, объ­

ёма и тому подобного.

Полезно

посмотреть на диаграмме

Эйлера-Венна,

какое

получит­

ся множество в этом случае.

Проверьте,

что словесно множество

X ß Y

можно задать фразой:

"Xе(ХйУ) равносильно тому, что или

а е Х ,

или

x c Y ,

но

х ф ( X n Y ) '

Полезно также выявить некоторые свойства новой операции.

Например, докажите,

что

' x n ( Y a Z )

= ( X n Y )

л

( X n Y ) -

В дальнейшем нам пригодится знание ещё двух операций над множест­

вами.

I .

Разбиение множества. Определяя дополнение множества

CXY,

где Y с Х , мы разбили множество X

на две части

так,

что

X = Y и (CXY ) ,

Y п (CX Y )

=

ф ■

Определение. Вообще, предположим, что данное множество Е -

=UBLи ß пЕ.= ф

,

если

і / / .

Тогда

конечное или бесконечное

число множеств

Еі

образуют

разбиение множества Е.

Пример. Пусть N -

множество натуральных чисел,

-

мно-

°

жество натуральных чисел,

разложение которых на простые множители

содержит

і

простых чисел,

не

обязательно отличных друг от друга

(так Ң/ = { 2 . 2 . 2 . 2 \

2 .2 .2 .3 ;

2 .2 .3 .3 ;.

2 .3 .3 .3 ;

3 .3 .3 .3 ; 2 .2 .3 .5 ;

2 .2 .2 .5 ;.) .

■ 1

Тогда получаем

N = u N i

и

N . nN- = ф,

. если

i f j

Проблемы, возникающие при разбиении, связаны со случаем,корда

число множеств

Е L

бесконечно. Хватит ли

элементов на каждое Е{ ?

И как сравнивать мощности

(число

элементов)

этих множеств? Чтобы

чисел равноыощны.

объектам

а., Ь

2.

Произведение двух множеств. Любым двум

соответствует новый объект, называемый их

у п о р я д о ч е н ­

ной

. п а р о й .

Обозначение

і

= (а,Ь ) .

Отношение са,6) =(a,d)

равносильно отношению "іа =а

и b=d.". В частности, (а,Ь)

& сЬ,а)

в том и только в том случае,

если а = 6.

Первый (соответственно

с второй)

элемент упорядоченной пары

3.

=

( а, Ь)

называется

п е р в ой

(соответственно

в т о р о й . ) составляющей пары 3.

Определение. Прямым (декартовым или

просто )

произведением

множеств X

и у

(обозначение

X *у

)

называется множество,

состоящее из всех упорядоченных пар

(х ,у ) >

~где х е Х , ае у.

Отметим, что в общем случае

X * Y

^

Y * Х ,

хотя

иногда возможно и равенство.

Примет.

I.

Плоскость с выбранной прямоугольной системой координат