Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

( Z * l )

C?<?)

=* ( f T ^ i / s ) ;

а неверным -

следующее высказывание:

( S < i )

=*

=>

Здесь важно усвоить, что связна

не

означает никакой при­

чинной свази;

смысл импликации полностью

определен таблицей,

и

ничего другого импликация не подразумевает.

Имейте ввиду, что импликация -

это новое

высказывание,

состав­

ленное из двух данных, а следствие -

это отношение между двумя вы­

сказываниями. Связь между ними такова: из Я

следует В тогда и

только тогда, когда импликация Я*>В

логически истинна.

Наконец, отметим, .что высказывание (Я**в) можно заменить

(т .е . оно истинно в тех же случаях)

высказыванием (Я ѵв) ■

С отношением следствия мы встречаемся при решении уравнения

или

ного

уравнения).

4)

я 4* В

-

это

равносильность, эквивалентность,

связка

"я

верно

тогда и только

тогда, когда верно в "

или

" Я

истинно,

если

и

только

если истинно

В ”.

При изучении некоторых разделов математики нам встречались

теоремы, которые можно объединить в пары, прямые и обратные.

Факту, что верны обе теоремы, математики придают большое

значение. Обе теоремы объединяют в

одну и употребляют

при этом

слова: "необходимым и достаточным

условием

Я

является

5 "

или

" fl

верно,

коль скоро верно В и

обратно"

и тому подобное.

При доказательстве тождеств и неравенств приходится всегда

следить за сохранением равносильности цепочки преобразований.

Высказывание ( Я & В )

можно заменить на высказывание (сЯ=$В)л

Л (В=>Я)).

Проверьте,

что

((Я =*В) *=> (В =>Д)) ■

5)

Отрицание

fl

-

это высказывание

такое,

что

Я - о ,

если

Я--1,

и

д - 1 ,

если

fl=0-

Отрицание часто

используется,

если мы хотим

записать компакт­

ный ответ при решении систем или совокупностей

неравенств.

ки, которые мы назвали

элементарными функциями на множестве выска­

зываний

(всего их

1 6 ).

Здесь

приведены наиболее употребительные.

Сформулируем

без

доказательства следующий факт.

ТЕОРЩА. Любая функция

j c x t , x £

х ѣ)

от п переменных

(каждое

принимает

только два

значения:

0 ,1 ) ,

принимающая только

значения

0 и I , может быть представлена^йак

высказывание, в ко­

тором связками являются конъюнкция, дизъюнкция и отрицание.

Э^от факт используется при проектировании контактных схем

(например, в лифте или быстродействующей цифровой машине).

Этот же факт можно проверить на примере,

записав в требуемом

виде высказывание

(Я*=>В).

Получится,

например, ( ( й ѵВ)а с в ^я)).

вить конкретные числа (в нашем примере пусть х - з , у - Ѵ , <=i = s ) .

То, что мы называем уравнением, с точки зрения математической

логики является

высказывательной формой (в нашем примере это

"форма для числовых равенств") или предикатом.

Дадим оолее точное определение предиката.

Определение. Предикатом называется логическая функция, у ко­

торой областью

определения могут быть различные множества, обла­

или-{"ложь",

"истина"}.. Предикат описывает

некоторое

свойство эле­

мента.

PCX) ,

Q (х,у)

. S (x t , ..., х л) .

Обозначение

предиката:

Например, Р ( х )

-

" х

есть

число,

делящееся на семь". Область

определения

Ж

-

множество

натуральных чи'сел.

Р(Ь)=о; РСѴ-1;

PCS) =ot

Ц -

P ( Q )

ae имеет

смысла,

оно СР)

не задано

на мно­

жестве

множестве

рациональных чисел.

(Обозначения для мно­

жеств см. на стр. 50).

Пример второй.

Q ( x , y )

— “х

не меньше у н. хеМ.

(т .е .

X, берется

во множестве действительных чисел;

также

(строго

говоря,

Q

(X, у )

) определен

на множестве

Я х Я

со

значениями

во множестве

^0,I}j. На

множестве

комплексных чисел

предикат

Q(x,y)

смысла не имеет.

Для этого

предиката можно по­

I) Допустим, что X е {

1 ,2 ,3 ,4 );

уе { 1 ,2 ,3 ,4 3 , т .е . х

и у могут принимать четыре разных значения.

I

. 2

3

4

I

I

I

' I

I

2

0

I

I

I

3

0

0

I

I

4

0

0

0

I

истинности

Q

занимает полуплоскость,

образованную прямой

у - л

с точкой (+ 1 ,- 1 ).

Замечание. Множество истинности

предиката "значение функции

j ( x ) равно

значении функции а(х)"

есть множество решений урав­

нения

j c x )

=

(х).

§ 3 . Связь предикатов с высказываниями

Есть два

пути превращения предиката в высказывание. Первый

путь -

подставлять на место

переменных конкретные значения

из

области определения. Второй путь - связывание

свободных перемен­

ных новыми связками -

кванторами. Самыми употребительными являются

два квантора:

V

-

квантор всеобщности,

3 • - квантор существования.

Определение. Следующий набор символов (Ѵх)

Р(х) .значит,что

всякое X

из

области

определения

Р(х)

обладает

свойством

Р(х).

Например,

известно, что сх-!)3= х 3 - 3 x z +3х-1 .

Мы говорим, что

высказывание с Ѵх) [(х -і)3 - x J- 3 x &+ 3 x - ü

на любам числовом множестве является тождественно (безусловно)

истинным.

Другой пример связан с тем, что если предикат зависит от двух

переменных

(х,у)

—

" х

делится на

у ” с

областью

определения

e-f 1 ,2 ,3 ,4,5> ,

y f f l t2 ,3 ,4 ,5 j

- ТО

(Ѵх) SD(X,tj) есть

логическая

функция от

и

Её значения^

(Ѵх) $ )(х,у)

= I

при

у - / ,

(Ѵх) $ ( x , t p

=0

ЩСЯ

у ф і ,

или

(Yx) S)(x,t)= l

;

(Ѵх)8(х,й)=0;

(Ѵх) Ю(х,3)-О;

С Ух) SO(X, Ч) =О \

( Y X ) Я (x,S) = о .