Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

совпало бы с точкой (

о ■о

) ,

а

полярная ось

- с

действительной

осью, точнее с

лучоы ^^о,

у = о .

Определение I I .

Число

if

, равно

величине

угла, на который

надо

повернуть

полярную ось

около

полюса 0

так,

чтобы точкам

' ( вектор ot

) была на луче,

исходящем из

полюса

О

,

называется

аргументом

комплексного

числа ы.. Число

tf?o,

если

Поворот

совер­

шается против часовой стрелки; число '' if-со,

если

поворот

про­

исходит по

часовой

стрелке.

Обозначение.

if= агуы.

Определение 12. Число- ( о ; о ) не имеет аргумента .

Следствие

I . Если

а + Ьі

и

г-/ы, -и

,

то

а-

г-cos і/,

6 = г-sin

if

и

оі- г (cos if

t isin if).

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного

числа а .

Следствие

2. агд<+ определен

с

точностью до

чисел, кратных Ді?.

Если

Онагры, -с М

(или

в

задачах,

где

это

удобнее,

5Г

) ,

то

в

этом

случае

говорят,

что

if

является глав­

ным

значением

аргумента

числа

d .

(См.

также

[13] , гл. 4 §5).

Геометрическое

истолкование

сложения и вычитания

комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа ы

жр>.

Если

считать их век­

торами, то вектор (

оі +/Ь

)

будет

диагональю

параллелограмма,две

стороны которого даны (см.

определение

5 , <jrp.

9 4 ).

Вектор

(

/Ь-а

)

будет

второй'диагональю того

же

параллело­

грамма. Модулъ

(

fr-d.

)

является расстоянием

между d

и уб.

Заметим, что

і/ Ь - ы - і > і/ ы - і о і і ,

Ic iff b U l U I + l ß l ,

/

T.e,

неравенства треугольника выполняются в комплексной

плос­

кости.

Другими словами (здесь выгодно использовать тригонометри -

чѳскую форму комплексного числа),

если о/

~г(со! у + is in у),

ß - JO (COS tft t ij€n Ф) ,

Т О

oi-ß --

tß(COSLf-f І Jin cf)(COS</) t ijtn cp)-

- z p

[ c o s e I f + (ft) +

£ Л « (<f+ Ф ) ]

ИЛИ

I d ß ! = hU-ljil ,

atryI (<*■£)= atCjo i +

a t e

(сы.

определение

6 , стр.

94

и

теорему сложения для тригономет­

рических функций

[29/

) .

Следствие

I . Вектор произведенияо£у6‘получается

п о в о ­

р о т о м

вектора а: на угол

<p=at<ßjз

и

растяжением в /уЗ/

раз.

Следствие

2 . Если ■ Ißl - J ,

то умножение

сводится

только

к повороту.

Следствие

Э. Если

ага л =о

и

ß o o ,

то умножение сво­

дится к растяжению.

Следствие

4.

Умножение

на і

-

это

поворот

на

■умножение

на (-1 )

-

это

поворот

на “К .

ТЕОЕЕМА 8 .

h t - J b - f - . - . - M *

W -Ißl-Ij!

■/Л/

и

Следствие I (формула Моавра).

Если ы.=/3= /=

••• =Л (дано

равенство я чисел, n e N л

то

/оСп/~/ы. / ’1 и

аг^ьсп)-па^ ы ..

Другая запись формулы Моавра:

Следст в и е,!.

[ É

j =

£L

и

а у ( £ )

= а у р - а у ы ..

Это следует из того,

что

/3 - ^

• <*:

(по определению 9 , следствие

я //» /* / І / • М .

)

* auj * .

(из теоремы 7 ) .

Применения формулы Моавра.

I .

Корень я

-

ой степени из числа ос.

Определение

13. Если а= г (cosy* сsin у) ,

гіеИ ,

то (foC =од) Ф=$

(<е)п

=ы)

(

•ң дьвь

я - ой степени

из рі ),

где /се)І= f t

;

аг^ а) -

>' і е і .

Следствие I . Если

Ке {о,

п-і }

,

то ш

получим тъ различных значений корня п.

-

ой степени

из и-.

а)в ; <а, ; л)я і-соз І

.

Следствие 2 . Все

а),

с і е

(о, і,&

.,

п - і)

лежат

на

окружности радиуса рг

с центром в точке (

0; 0)

и являются

вершинами правильного

п -

угольника.

2 . Вывод некоторых формул тригонометрии.

Задача. Выразить

cos 5 у

и

Stn5if

через cost/

и Лп if.

Решение. Имеем

Обратная

задача’.

Выразить

cosJtf,

л п if

через cosöf,

л п

3 if, (os £ f

, Jin 8, i f ,

cos iff

л п

f , используя

комплексные

числа.

Решение

I .

Пусть

л= cos if t ijin i f .

Тогда

1

; C O Slf =

Z +Z'!

..

Z - £ ' J

Z

= COSI f - i J i n t f

a

;

Jin if

-■

Z i

sr-r^ «Г"Л Xa

<T~3

Q--J

Z +3Z ■Z + S Z Z + Z

Z +Z '3+3 CZ+&-')

s

g

_Scos3if і З -Bcosif

_

CQS3f+3cosif

/

4

ней, если

известна формула

разложения бинома Ньютона (так

называет­

ся выражение вида ( а +6

?,

где

п е .Н ) .

Геометрическое построение обратного числа

Опишем построение

точки ^

с

помощью циркуля и линейки без

делений,

если известна

точка ы.

на

комплексной плоскости

(анализ).

число £>=-?■'

Так как

!/Ы - ~

или ifbl-ldl =1

и

azcjfb = - a t c jü

= azcj d

,

то точка f> лежит на луче, начало

кото­

рого в точке ■ О ( о ; 0 )

и который проходит через точку ос.

Отсю­

да становится ясным

в о с т р о е

н-.и

е (/< * /< /).

Опишем

из точки 0 как из

центра

окружность радиуса единица (см.

рисунок). Соединим прямой линией

•точди

0

и У . Восстановим в

точке

оі

перпендикуляр к примой

СУ

до

пересечения в точке Т

с

окруж­

ностью. Проведем,- наконец, каса­

тельную к окружности в точке Т .

Касательная пересечет луч Оы. в

точке

ß.