Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

валов,

отрезков

записью в

виде

неравенств.

2)

Для зашей, множеств Y_

, Y 0

, Y +

употребляют те же

сим­

волы, что и для записи множества X .

3) Более привычно название-корни функции. Обратите внимание -

корни (нули) могут быть совпадающими. Тогда удобно говорить

о

кратных корнях. Например,

функция

. у - (х -3 )2

имеет

корнем

число

3 , его

кратность

-

два.

;

4 ) П

р

имеют полюсы при

х

I

=

0:

х . =

I:

х .

= 2

и

х

и

= 4. Эти значе-

Ü

л

) дан­

ния, конечно, не входят в области определения

(множествах

ных функций.

5)

Определение.Функция j {

x

)

называется четной, если

равен­

ство

J { - х )

= у

( X

)

верно

для всех

х е

(-£,+£)■

Функция

if(x)

называется нечетной,

если

равенство

=

верно

для всех

х е ( - ( ,

+£).

Подчеркнем два факта: во-первых, X

может

быть и несимметрич­

ным,

значит,

существуют функции,

для которых вопрос о четности

смысла не имеет. Во-вторых, не

толькоX

должно

быть симметричным,

венно

выполняться н а Х .

6) Определение. Функция j ( x )

называется пери, цческой

на

X

,

если

существует

хотя

бы

одно

число Т фо ,

T e R

такое,' что

уравнения

j c x + T)

= f(X ),

f ( x - T ) = j ( x )

выполняются тождествен- -

но для

всех ( х + Т ) е Х

,

всех

( х - Т ) е Х

и всех

х е Х .

Число Г

не

зависит

от „с. Например, функция

у = х - [ х ]

имеет

периодом любое целое число. Действительно,

если

]с е

2

І с ^ х - с і - г і

и

п £ % ,

п ^ х + Т ^ п + { ,

то из

тождества

Сх + Т ) - І х + Т ]

=

X - [ X ]

получаем

Т = я - і ,

где

ne %

, } е %

по

определению [х],

значит, (п-Ъ) е

1

_

тоже.

Наименьший положительный период есть единица.

7)

Определение. Функция

j ( X )

называется монотонной

на не­

котором участке

(отрезке,

интервале),

если

для любых .г,

и

х &

из., этого участка из

условия

х

< Х Р

вытекает неравенство

-fCXg)

( или

j c x ^ ^ j c x ^ ) .

Тогда функ­

вытекает строгое неравенство j cxt ) < /Г-Г^)

(или

убг;)>

? } ( х ^ )) , то функция называется строго монотонной (в

первом случае

обратную функцию.

Иногда участки

монотонности ‘функции отделяются друг от дру­

га точками (числамих ) , в которых

скорость изменения функции

равна нулю(точнее,

точками экстремума).

8) Определение.

Функция у ( х

) называется выпуклой (к на -

некотором отрезке, если

для любых точек jr

этого

отрезка

верно неравенство

Функция будет

вогнутой,

если знак неравенства заменить

на

об­

ратный.

Участки выпуклости и вогнутости отделяются друг от друга на

кривой

точками перегиба.

Следует

обратить внимание на условность

этих понятий,

их

Определение I . Функция непрерывна на отрезке

(интервале),

если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (интервала).

Определение

2. Функция у ( х

) непрерывна в точке х0е Х ,

если даю любого

числа £ > о

найдется число â>o

такое, что

для всех х е З С ,

для

которых верно

неравенство

i x - x 0j < â ,

будет верно неравенство

I j c x ) - J(xo)j< £ -

Здесь

6 e R

, ö e И

, jCx)e Y

, } ( x 0) e Y .

Иногда пишут

/tm

Jrx) =J-(x0),

'Основная т е о т Л з т и ч е с к а я

задача:

по заданному

£>о

найти

Пример.

Найти

â y o

по

£ >о

для j ( x )

= х 2

в точке je =с

.

Пусть искомое

число

â< I ,

тогда

j x 2-ez l = ! (Х -С)(Х + С)І =ІХ-СІ-ІХі-СІ =

d x -d -K x -cH -B cU /х-е/- (Ix-citäici) 4

^ â ( â +£,№!)<.ö (!+g,ld)-i£ .

Итак,

6 <

I

т .е .

п &ісі,

{ + 2 lei

с

&

д=тіЛ(1' і Ш

і ) -

Конкретно,

пусть

= 2 ,

25, тогда â = I; при

£ -

^EO“3

будем

иметь â

= 2 .1 0 ~ f

при с

2.

Отметим важный факт, связанный

с

табличными функциями: толь­

ко числовые последовательности

, y = s ^ n x ,

y-=£rj

ные функции непрерывны (даже

непрерывна для

всех хфо,

а х

= 0

в область определения данной функции

не входит. Подобно

этому

функция

y =

непрерывна).

10)

Определение

экстремума

(максимума или минимума, т .е .

крайнего

наибольшего и наименьшего

значения).

Функция j ( x )

имеет

в точке х д

экстремум (максимум или минимум), если

эту

точку можно поместить в середине интервала

Cx0- â , х 0+<5) е

X

'

6> 0

так, что для всех л: из

этого интервала

выполняется неравенство

j ( x ) ^ j ( x a')

{ максимум],

или

у (X) > -f(x0)

{ минимумj .

Итак, в определении экстремума подразумевается, во-первых,

что

существует

такое

число

ö y o ;

и во-вторых, что интервал

( x o - â

, х 0 f â

)

полностью

содержится

в X ,

т .е .

точки

X

есть

справа и слева от

точки х 0.

Иногда точки

экстремума

бывают

концами участков монотонности.

Верно утверждение: если в точке

экстремума можно

найти

ско­

рость

изменения

функции,

то она,

эта

скорость, равна нулю непре­

менно. .Обратное утверждение неверно.

В отличие от экстремумов выделяют еще крайние (наибольшее

или наименьшее)

значения функции на отрезке. Дело

в том, что функ­

ция, • заданная на

отрезке,

может принимать крайнее

значение

на кон­

це

отрезка, и это

крайнее

значение

может

оказаться больше наиболь-

функции

у =J c x )

на отрезке

/ х

; x t k ]

называется

дробь

t ( x + A ) - J ( x )

—

Т

Обозначение

і>- £ л ;

л* А]

или

і£ср .

Так для функций

tf'

= Ь х

і

= X*

;

Я3 - £ 3 -,

уу -

Ух будут

следующие функции

на

отрезке л

[ л - . л + А ]

:

<г

-S;

О* - В х + А )

О,

^Зх^+Зхі+А*;

*

Юр

&ер

Зср

V

г -------------

'

1 е/>-

X(XtA)

Определение

2 .

Скоростью изменения функции

(или мгновенной

скоростью изыенения) в точкех называется

(ітп

J (X f A ) - J C x )

или

Aim

% 7

7 Г ~

А~о

А~о

если

этот

предел существует. Обозначение

Ѵ(х).

Итак,

0 (Л ) = lim

#

=

lim

k~o

eP

h~o

&

Так,

для вышеприведенных функций иыееы 0’(л)=51

&(л)=8л

о

i

1

; 0-3 Сл)=5л&

0^£Xj--jj-.

В высшей математике

(Нх)

называют производной функции

t/=j£x)

в

точке

X.

о-[л; х+А ] -

Геометрический смысл средней

скорости

это

тангенс

угла наклона к оси О х

прямой,

проходящей,

через

точки

с координатами (л ; } ( Х )

)

и

(л+А

; /

(Л+А))-

Геометрический смысл

о-(л)

-

это

тангенс

угла наклона к оси Л с,

касательной

к кривой

і] =J ( x )

в точке

х .

Отметим без доказательства, что если функция имеет скорость

изыенения в данной точке

х ,

то

она непрерывна в данной точке.

.Обратное утверядение неверно. Например, функция

у - / х /

непрерывна в точке х

= 0, но не

имеет

скорости изыенения в

этой

нии

2 .

'

Ещё отметим, что скорость изменения элементарной функции ѳст£>

также

элементарная функция.

Наконец, отметим, что здесь написан предел функции, понятие

более сложное, чем предел числовой последовательности (см. стр.

91

,

а также определение 2 на стр. І І 8 ) .