Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

£ =а - 1 + 6 -1 +Ъ у + di e ,

где ае ] Ц, , t e R , C E R , d e R \ . символы J e R ,

i , j , 1

связаны следующей таблицей умножения :

нионов,

а именно { ( а ;

6 ; 0 ; 0 ) } с

{ ( а ;6 ; C ; d ) } .

Доказано

(Фробениус),

что для остальных упорядоченных п - ок нель­

зя сохранить обе операции (сложение и умножение ) со свойствами,

характерными для множества R .iB ce

ли

свойства сохраняются и здесь?).

2 .

Более подробное и менее формальное изложение школьных

вопросов, связанных со

множеством

С

, можно найти в книгах Бол­

тянского

и др.

[13],

Дорофеева и др.

[14],

Виленкина и др. [28] ,

Киселева

А.П.

[29|.

Начнем с

примеров. Даны два

множестваX и У . Между объектами

х е X , y e Y

можно задавать на

множестве ( Y * У ) различные отно­

I).

I ;

2)

У -+

'

3)

;

4)

5)

7=ßx+5 i

6)

Ц = і і . п Х ;

7)

8)

И

)

і

i Z

3

ч

S

- I 2 )

J

i------------- ------------

і

-----ІW---------- 1

-4

з — <

и.

3

Ь ]

— *

Ч

—-------------- i

Ь

,,тяі

Ь

г

1

3

»—

и

Первые

четыре

отношения з^пдны на

R х Ц

так, что

хе Л. ,

В

этих примерах X =R ,

Y = R

.

Пятое и

.шестое

отноше-

ния заданы на подмножествах

J Y Ü .

В пятом

примере Y-JZ

,

и

x e R

,

в шестом - Х = £ ,

f rJU.

В остальных примерах множества А' и Y

конечные. В седьмом

примере

X *(х, , x 2 , x 3 , x 9, x f r ' ,

Y = {

у, fr, fr, fr] .

В восьмом и девятом

примерах

X

={ x t , x &, x

, х ч]

,

Y ={tjt , f r , tj3 } .

.

В десятом

и

одиннадцатом

примерах

Х - У - /1 ,2 ,3 ,4 ,5 ] . Наконец,

в двенадцатом

примере

X =

/1 ,2 ,3 ],

.Y = /I ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ] .

Что же

такое отношение

(соответствие)?

Некоторые математики

говорят, что это подмножество прямого произведения двух данных

множеств. Другие утверждают, что упомянутое подмножество является

лишь графиком отношения (соответствия).

Кто

прав? Правы все.

Различие

в приведенных утверждениях соот­

ветствует тому,

понимать ли

отношение "аналитически" ( т . е .

в виде

формулы)

или

"геометрически"

( т . е .

в виде

графиков,

которые можно

нарисовать в прямоугольной системе координат на плоскости (примеры

1+6) и которые уже нарисованы (примеры 7+12)).

Вот аналитическая

запись отношения ■Л

(х , и)

в двенадцатом

примере: даны два множества

X -

[

1 , 2 , 3 ]

и Ѵ г / 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ]

Тогда

Л е х и )

= / ( І ; І ) 5

( І ; 2 ) ;

( І ;3 ) ;

( І ; 4 ) ; ( І ; 5 ) ;

(І;6)

; ( І ; 7 ) ;

(2 ;2 );(2 ;4 );С 2 ;6 );

(3 ;3 );

(3;6)J.

Ясно, что

[ Я ( Х , у ) ] с

( X* Y ) .

Словесная формулировка для

Л

( х , и )

■

элемент

х е Х

есть

делитель элемента

f r у

( X с Ж , Y

^ N ) ■

Из множества отношений издавна выделяют важное

подмножество.

Это

подмножество

отображений

(функций). Среди вышеприведенных при­

меров это четвертый, шестой, десятый, одиннадцатый. Их выделяет сле­

дующее

обстоятельство: .каждому элементу

х е Х

соответствует ров-

%

но один

(один и

только

один)

элемент

и е У .

Между понятием

значений — R

или

его подмножество. Здесь сх ; <j)е R z , х е Я ,

Число

Л е Л .

Чаша и седло

получается в R 3.

Задача.Какую геометрическую фигуру описывает в Ц£3 система

неравенств:

/ х / л 1

и

/ у / Z I ,

и

Ц Ы I ?

Для изучения

поверхностей

применяют метод множеств уровня.

ти, снятый на

карту.

Замечание

4, Комплексное число

ы

г Са ;&)

,

а е Л ,

è e R

задано на R ä Функция комплексного

переменного

сиг - ся + d

,

например, где

с е € , d e £ , z e C

)

принимает

значения

в R &.

чески (ведь

ее график надо рассматривать в М4

, где наше геомет­

рическое воображение

почти не работает (не действует)}. Частично

ухитряются

все-таки

представить поведение функции комплексного

переменного

графически, вычерчивая,

например,

поверхности посто­

приведено в справочнике Янке,

Эмде, Лёш "Специальные функции").

Замечание

5. В школе чаще используется прямоугольная система

координат. График функции мы

рисуем на множестве

пар

с х ; у ) е R z ,

х е Л

\ y f £ .

Однако существует

и полярная система коор­

динат (стр.

96

) . Здесь тоже

берется пара

чисел

ifeR

, г,?/0 ,

г е Л

,

тогда каждая точка плоскости имеет координаты

( у ; z j e R z

Замечание

6 (Понятия отношения и отображения

(а значит, соот­

ветствия и функции ) на самом деле относятся к числу начальных

основных

(и

не

определяемых в математике)

понятий. К тому же набо­

Замечание 7. Пусть у^сг2, но

- { x ^ x / ^ l j

j

Х&

= { х :

Тогда

говорят,

что заданы две

различные функ­

ции:

у них различны

области

определения.