Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

§ 2. Таблица

основных функций

Мы считаем,

что x e R

,

у е И

;

пишем сначала правило, затем

область определения

X

и-область значений Y .

1)

у=J ( TL)

или (другое

обозначение)^ .-^,

или

схп)

-

чис­

ловая последовательность. Область

определения

X = Ж =

= £ , 2 , 3 , . . . . ,

а ,

...._}

;

область

значений

Y e R

■

2)

и = ах +6

і

а е JR. ,

Ь еЖ

-

линейная функция X = R , Y = R .

3 )

у

^ах^+Ьх+с-

0.40,

а е Л

, Ь е R

, c e R

і

квадратный

трехчлен;

Х = М

, Y c R .

4)

и =а х 3+ Ьх£ + Сх + d ;

а 4=0 , a e R , 6 e R ~ С3 1 ,

aeJR;

кубический многочлен;

Х = М,

Y = R

■

5)

и= акх к+ ak l X l''t. . . і atx t

ao ,

где

^

4о,

ovre R

;

a

f J 2 ___

Of e R

,

ag e R

;

} e j {

-

к-і

k - ои степени.

X = R ,

Y ^ R . ■

Часто

пишут

многочлен

у -

CrJ.

Иногда рассматривают

pt

(х)

при

к=о.

В этом

слу­

чае

рк (х)=ао

(говорят,

что это многочлен нулевой степени,

он

равен

константе

(постоянной

величине)

а

при любом х .

6)

Ч- ~х—

;

1

где

Р,

ex)

и

Q

(X)

-

многочлены к-ой

1

Qmcx)

. i

™

X =R ^

,,ois }

,

где

си eR ,d.&eR,...,d.seR

и

Qm Ң

) = Qm CcL&) = .. .= Qm (ds ) =0 i J S m

;

Y

s R

<_

Частным случаем

алгебраической дроби

является функция

JZ

7)

у -

&уо ^£.

(это

рРавносильно

записи

х -- а%^

) - "

логарис&ми-

Г

- і а

а > о ,

а

4= I ,

а е Ш

\ Y - R

■

ческал функция;

х у о ,

х е

8)

Ч ' а 'Х'

~

показательная функция;

а у о ,

а ф і

,

a e R ;

' X - R ;

9)

Ч>°

И

y e R

C Y c R ) .

d e R

,

и

X E JR

у = х и

-

степенная функция;

х у о

( X c R

)

, Y s R

■

10) у - Jin X

( X = R

,

/Ц/s 1

y e R ) ;

у = COSX

(X *.R

,

Ji jl Sl

u e R ) ;

и - t a x

. (X - R '' ( x - . x

і і я . кe t J , Y = M ) ;

II)

t j - а г с Л п

х ,

что

равносильно двум отношениям:

X

-

S i n у

и

и = a t e

cosjc

,

что равносильно двум

отношениям:

1

X=COStj

И Io x t j x f t ,

а - агс іа х ,

что

равносильно двум

отношениям:

7

лЛуу

■

' У" Г

Это группа обратных круговых функций: арксинус, арккосинус,

арктангенс.

^у =- аartА хX,

12)

i j - s A x

,

у = th

X

-гиперболические

функции*.. Дано

число

<г е М

и

e = 2,V 3R i

тогда по

определению

<гX-в. -X

sA х -

( Х = Л , Y = R ) -•

с к х

е X+ е -X

(X=R ,

, tj£i

<гX- е -X

t k

X =

+ g -с--

(Х=М ,

iijHl

, i j e R ) ^

13)

Группа

новых функций

13Л )

Ч=іх! ;

13.2)

i j - s ^ n x ;

13.3) у * [ х ] .

1 3 .1)

^ и=

І х І

-

модуль(абсолютное

значение) х

4 X = R

,

у >о ,

y e R .

Деть, запись

этой функции

в виде

двух

формул

ІхІ -

Г

при

ХУ/О:

XX О .

[

Ч ~ 'Х

при

13.2)

j g n

X

C„S^n1 сокращение латинского слова

qjinnum*- знак) - знак числа х ■

X = R

,

Y - { - { ;о; +1} .

Расшифровывается

эта

запись

так ( в виде трех формул):

г т х ~-

Г +I ,

если

ХУо

1

=

0,

если

X - о

ч

= -1, 6ели

XX о

13.3)

целая

часть

числа

х

(множеству целых чисел).

Словесная формулировка такова: если

к х X X і + ! , к е Ж ,

то y z k .

Последние две группы функций в школе встречаются редко, но в

высшей школе (университете и втузе)

очень

часто. Советуем построить

из X

следует

выкицуть те

числа, при которых знаменатель равен

нулю). Но самая главная допустимая операция для расширения множе­

ства

простейших функций -

это

подстановка (более

употребительное

название в математическом

анализе: образование

с у п е р п о з и ­

ц и и

или,

еще говорят,

к о м п о з и ц и и

двух функций).

Иначе можно сказать: получение

сложной функции / она тоже

считается

элементарной). Суть операции в том, что на место

числа а.

в одной

из табличных функций ставят одну из табличных функций.

Например,

j = Л п&л

(или

t]= (Лп .х )& ' )

есть сложная функ­

функцию: у - Sincx^).

Полезно построить

графики обеих функций. •

§ 3. Схема исследования функции

(Математический анализ числовых

функций)

Подразумеваются, конечно, элементарные функции. По-другому эту

часть можно было назвать

следующим образом: этапы исследования Чир­

дим необходимые

разъяснения.

Этапы исследования

1) Уточнение

(может,

более

удобнее,представление)

множествах

( области

определения).

2) Разбиение множества Y

на

подмножества:

Y= Y

U Y o u Y + ,

где

г

= { у.- ^ о )

Y0= f f - ^ o } ;

^

. Y Y

у

■' у >°J .

Эти множества

порождают

разбиение

множества

X

: X = X. UXo U X ^ ,

соответствующих Y _ ,Y o ,Y , .

„

3)

Выделение

нулей.фущщии, т .е . х е Х в = { х : у=о}

■

4)

Выделение

полюсов функции, т . е . , тех

значений

х ,

прі

которое

пришлось бы делить на нуль: ясно, что

такие х ^ Х ,

но поведение функции вблизи этих точек часто

приходится

иссле­

довать.

5)

Проверка на четность, если X симметрично, т .е .

Х = { х : / х Ы £ , ( еЩ ) .

Разъяснения

I) Функция считается заданной, если задана область определе­

ния (множество X

) .

Что же в таком случае

уточнять? Ведь, например,

все табличные функции заданы с указанием множества X .

Но на прак­

тике

часто

образуют

сложную функцию без

указания нового множества

X

і

Даже

требуют

решить не совсем корректно сформулированную

задачу: найти

область

определения (множество X )

для функции

у

/ ------------------------- >

Ответ: Х

=

ft

О

;

X е R .

^ y ü x j ^ t e j x .

{ х : Ы 4 х - с к Я +j .

кб £ }

(Проверьте).

Записать множествоX

можно более

просто и

привычно,

используя

обозначения и названия:

если

х е Х

удовлетворяет

неравенствам

а ^ х ^

6,

то

пишут

х е

[о.,Ы

и говорят’’X

принадлежит

отрезку-или сег­

менту ' [ а,£>1 ” ;

если

х е Х

удовлетворяет неравенствам

а ^ х - і ѣ ,

то

пишут

х е (а-;6)

.

и

говорят ”х

принадлежит интервалу a , è ”.

В случае,

если

а < х е Ь

или

a * x - c h ,

то

говорят

-XX

принадлежит полуинтервалу" и пишут

х е

( а ; 6]

или х е га; 6)

соответственно.

Замечание.Избегайте вместо

а е Ц

или 6е £

употреблять сим­

волы ”

" или

"

+ &=>

".

Лучше заменить

запись в виде интер—