Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

Г л а в а

У

I

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ

§

I . Предел монотонной

ограниченной последовательности

Определение

I .

Числовая

последовательность

( а п )

называется

ограниченной,

если существует

число Я

такое, что Іая і-<М

при любом п £-М.

(ап )

Определение

2 .Числовая последовательность

будет моно­

тонной

(возрастающей),

если

при любых п е К и

(п+1) е И

верно

неравенство

°п *

аті ■

ТЕОРЕМА. Монотонно возрастающая ограниченная последователь­

ность

(ап )

имеет

предел .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО,

Будем

считать,

что каждое

число

М ',

Q, ;

. можно записать

в виде

бесконечной

десятичной

дроби.

Тогда имеем таблицу

/V - й , 2

і> с d с

. .

Р,

9, П

■

%

=

■>Ре. -%

s£ ^

••

•

аз

йз

’ Рз /%

q

^

■■ ■

%

Q,

-в.

»

а

г л

'S, і .

, Р.

к

к

' rt

~к

к

к к

Здесь

Я ,

Я, , в& . ■, fl;,

-

целые

числа,

p. q . , л ,s . , tc

-

десятичные цифры от 0 до

9,

а, Ь,

с, d , e -

тоже

Строим

число

Числа

я

д п, ^ nä

п3 д . . .

существуют,

ибо,

во-первых,

а п *

„

тгеЯ,

отсюда

Я-Я ez é

яз

~

■■ -

йк 4

во-вторых,- любое Дп

д д.

Значит,

найдется

в нашей таблице

строка

с

номером п0 такая,

что

начиная

с

нее

в строках

я,*/,

nBt& , . . .

и т .д .

.

наибольшее

целое

число

/?Л

будет

неиз­

менным. Обозначим его через В.

Итак,

начиная со

строки

я„ .

в на­

шей таблице

до

запятой

стоит

целое

число

В.

Со строки

я0

и

далее смотрим за первой десятичной цифрой рг

Если

х

-

наибольшая

цифра, появившаяся впервые в строке с номером

я, -? п 0 ,

,то

она сохранится

в дальнейшем,

ибо

ая

.

Кроме того,

ясно,что

число

Вt X * Д , а.

Продолжая рассуждения для

столбцов Ц

г

- >

мы и получим число

Я - В , Xу Z UD-. . .

. Число ИГ

является

пределом

последовательности

(ая ).

В самом деле,

пусть

выбрано число

£ уЮ~т,

тогда для всех

пу пт

целая часть и

первые т

цифр после'занятой

в числах

ап

и Я

будут совпадать между

собой,

так что

разность

/ап - Я /

не может превышать 10" Т

Так как это можно сделать для любого

£ у о

с

помощью выбора

достаточно

большого

т ,

то

теорема доказана

(

[ I]) .

Число Я

ввиду своей важности получило в математике

название

точной

верхней

грани.

Например, длина данной окружности есть точнця верхняя грань

периметров

выпуклых многоугольников,

каждый из

которых вписан

в .

данную окружность.

так, как это сделано

в школе.

Отправляясь

от правильного

треу­

гольника, вписанного

в данную

окружность,

будем'удваивать

на

каждом шаге число сторон (т .е . получим правильный шестиуголь­

ник, двенадцатиугольник,...,

вообще 3 .2 71

- угольник) и

подсчи­

тывать периметры получившихся многоугольников.

ЛЕММА I . Если выпуклый многоугольник

Pf содержится в выпук­

лом многоугольнике Р£ , то периыетр

не

превосходит периметра

Доказательство этих фактов есть в любом школьном учебнике, и

мы его

опускаем.

(Далее

см.

[30]

) .

Определение I . Пусть р

и

/ >- в п и с а н н ы е

в

окружность

С

многоугольники. Будем

говорить,

что jD

лучше Pt

,

если

все

вершины Р:

являются вершинами Р&

(обозначение

Р, 4

Р&).

В частности,

Р 4 Р

,

и если

р 4

Р£

и

то р

и Р^

совпадают.

Ясно,

что

отношение

4

(лучше) определено

не для всех

многоугольников,

вписанных в с

Определение 2. Последовательность многоугольников ( Ps ) ,

вписанных в С,

называется монотонной, если для любых

к е N ,

fe Ы

и

t

верно

отношение

4 Р£

ЛЕММА 2 . Для любой монотонной последовательности^) .вписан­

ных в данную окружность

С,

последовательность их

периметров имеет

предел*

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как каждый многоугольник

Ps

вписан

в

окружность

С

радиуса j?

,

то

соответствующий

периметр

ps

ограни­

чен,

например,

периметром

квадрата,

описанного около

С,

т .е .

р

Кроме того,

что любых

ке J\f

, ? еІ Г

и

имеем

Рк

4

Pt

и, значит,

pt і

р£ .

Одним словом, последо­

вательность

периметрюв

(ps j

в данном случае монотонна и ограни­

чена. По теореме

об ограниченной монотонной

последовательности

можно утверждать,

что

существует

к т

р

Обозначим

его

п-~оо ог- •

буквой р.

Пусть

а

-

длина наибольшей из сторон многоугольника

,

вписанного

в данную окружность с.

Пусть

6Л

-расстояние

от центра

окружности С

до

стороны,

имеющей длину

.

ЛЕША 3 . Пусть в окружности С вписаны многоугольники

Р

так,

что они

образуют монотонную последовательность и

кт. а =о

„

л-

Пусть

рл

обозначает

периметр соответствующего многоугольника

Q

и

km^ ра = р.

Тогда существует

последовательность

выпуклых

описанных

около С

многоугольников

(обозначим каждый многоуголь­

ник через

Qn t

его

периметр - через <j

)

такая, что

lim

% - Р-

я —“=

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть многоугольник Рп вписан в окружность

С

радиуса R. Построим многоугольник

За

,

гомотетичный много ■=■

угольнику Рл

с

центром гомотетии

в

точке. О - центре окружности С

и коэффициентом гомотетии

(Ясно,

что

к > 1 ,

. ибо

всегда). Полученный многоуголь­

ник

содержит окружность С и имеет

с

ней хотя бы одну точку

(ибо &

-

наименьшее из расстояний от центра 0 до сторон много­

угольника

Рп ,

а

наименьшим из

расстояний до сторон 3

будет £ \

Пусть

-

периметр многоугольника Зѣ .

Т0Рла

4 . Ä

.

A

4

'

-

Чтобы построить многоугольник

Ö

проведем для всех

сторон

многоугольника

S

прямые,

параллельные

сторонам и касающиеся

данной

окружности С.

По лемме

I

имеем

Рп ^ Яп~

или

9п

^ é n

— ^

■