Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

к

(В + В' +ЧВ"),

где

к

-

расстояние между

плоскостями данных многоугольников,

В

и В 1

- их площади,

В" - площадь сечения многогранника плоско­

стью, параллельной двум данным плоскостям и находящейся

от

них

на равных расстояниях.

Вывести отсюда объем усеченной пирамиды.

Указание. Разложить многогранник на пирамиды, имеющие общую

вершину

в некоторой

точке

сечения

&"

( ВД-

,

стр.

108,

№587).

Решение, Пусть

О

- некоторая точка среднего

сечения данного

грайяика (см. чертеж). Соедийив

ее

со всеми вершинами многогранника, по­

лучим две

цирамиды с

вершиной О,

осно­

ваниями которых служат соответственно

грани

ДВСД Е

и

XL И Я

многогранника (дальнейшие

рассуждения

не зависят от числа сторон оснований),

и ряд треугольных пирамид с вершиной

в той же точке о ,

основания которых

лежат в боковых гранях данного много­

гранника

(например,

о х д в

);

если

боковая, грань -

четырехугольник,

то

ей

соответствуют две

такие пирамиды (например,

грани

ВСЕХ

соответствуют

пирамиды Обе к

и

ОСLX

и л и же пирамиды

08CL И OBKL).

Объемы пирамид,

имеющих своими основаниями верхнее основание

и нижнее

основание многогранника,

равны соответственно J А&

я J h&'.

Объем какой-либо из боковых пирамид, например, объем

пирамиды

OKt7 3 ,

можно найти

следующим образом: тан как площадь

треугольника

ХДВ

S

= УУ

,

'

то объем

охав

Л k AB

л к P S

’

вчетверо

больше

объема пирамиды OXPQ

К « * 1

■

Сложение

объемов

всех

боковых пирамид дает

поэтому 4

к р )■

Ьтсюда и

получается общая формула

"(Зоновых ребер, то будем

иметь

J

Х : ( Х + ~ )

■(Х+к)

- / 3 ■/ 3 ' ■/ в

или

С/З + /В ')

■/ В 7 =

С£х*А): ( x + ^

4

откуда

Пусть для тела, имеющего

объем, площадь S = S сх)

его поперечного сечения, перпендикулярного к оси

Ох.,

изменяется

по квадратичному

(или даже кубическому) закону

S(x.)= Я х& + ßx+C

( а ^ х ^ Ь )

(или

SCx) =оСх3 +ß x & +%х +<$),

где Я, в, С

(d,/b, jf, â )

- постоянные числа.

Тогда объем этого

тела

равен

ѵ

ISCO+J/-S

+ SC&)J,

где H - è - a -

Если

Sex)

не является многочленом третьей

степени, то фор­

ного множества

функций ошибка при использовании формулы Кеплера-

Симпсона будет невелика. Например, с помощью выведенной формулы

площадь круга получается быстрее ( т . е .

быстрее

достигается

задан­

ная

точность),

чем с

помощью традиционного

удвоения числа сторон

правильного

вписанного многоугольника.

§ 7. Стереографическая проекция

Пусть дана плоскость об

и касающаяся ее

в

точке S поверхность

шара

ft.

Пусть ZfS

-

диаметр шара. Установим

соответствие

между

точкаыи сферы ft

и точками плоскости об

так: из

конца диаметра

Я

проводим луч, пересекающий, сферу ft

в точке Я ,

естественно

не

совпа­

дающей с

точкой N-

Этот луч пересечет

плоскость об в точке

ß.

Мы

говорим,

что

точки

я

и в

соответствуют друг другу

в стереографи­

ческой проекции.

Основное свойство стереографической проекции: всякая окруж­

ность или прямая плоскости об

переходит

в окружность

сферы

ft

и

обратно

(без

доказательства)..

Второе

свойство

(применяется

при вычерчивании

географических

карт): стереографическая

проекция сохраняет углы (точнее, величины

углов).

Рассуждение. Рассмотрим

две кривые на сфере ft,

пересекающие­

ся в какой-либо

точке М

, и

пусть

касательные

к этим

кривым в

этой

точке образуют угол

if .

Покажем,

что касательные

к стереогра­

при стереографической проекции сохраняются. Для этого заметим

сначала, что когда секущая к кривой стремится к совпадению

с

в точках й

и ß

с касательной плоскостью ß к сфере

в точке Я.

Очевидно, что треугольник

йЯВ

равен треугольнику

йМВ ,

,

так

как сторона

й В-

общая для

этих

треугольников,

Iм

/

ІЙМІ

как длины касательных к сфере,

проведенные из

одной и

той же

точки,

и /В Я / = ІВМІ

по гой же причине. *Ноэтому

йЯВ

= е м В -if ■

Но касательные к проекциям кривых параллельны прямым йЯ

и

В Я ,

ния плоскостей Я й м

и ЯВМ

с

плоскостью проекций. Сле­

довательно, угол между ними равен

ЙЯВ

= i f ,

что и требовалось

доказать.

§ 8 . Вычисление

площадей

(история проблемы)

Уже в Древнем Египте

точно вычисляли площадь

прямоугольников,

формулу

площади 3

в таком

виде

. a t e

6 +d

где

d

-

длины последовательных сторон (для сравнения при­

ведем точную формулу

3 = jj ^fcSm n t a e,t a &-l>s- - d e')(B m n .-ae'-c ü + l>Èt d £) ,

где

т , п

- длины диагоналей

четырехугольника).

Задача. Интересно выяснить для каких фигур формула египтян

I)

точна; 2)

ошибка невелика; 3) может ли ошибка быть сколь угодно

Самое интересное,

пожалуй, было

вычисление площади круга по форъ

муле

о

S - ( I о

■

где d - диаметр круга. Эта фор­

Затем,

около

каждого малого

квадрата строим по два квадрата

со

стороной h d

(на рисунке

эти восемь квадратов

отмечены бкувой

и ) .

Площадь

ступенчатой

фигуры после второго

выбрасывания

(уже

квадратов ы.

)

будет

В древнем

Вавилоне вместо" числа Я- употребляли

число

3.

Геометрию

значительно усовершенствовали

древние

греки,

В школе Пифагора считали, что

’’весь мир в целом является гар­

монией и числом". Имеется в виду натуральное число, а если вели­

чина не выражалась таким числом,

то ее изучала уже не'арифметика,

а геометрическая алгебра. Греки поставили (и пытались разрешить)

задачи, связанные с построением

с помощью циркуля и линейки без

делений. Т акони, пытались разрешить задачу о квадратуре

круга,

т .е . задачу

о возможности с помощью названных инструментов постро­

ить квадрат,

равновеликий данному кругу. Были попытки свести зада­

чу 'к' другой

задаче (луночки Гиппократа, с которыми разобрались

окончательно

в 30-40 годы нашего

столетия). Были и спекулятивные

был принцип исчерпывания. Лемма: "если даны две

неравные величины

и из большей вычитается часть, большая половины;

а из остатка -

снова часть, большая половины, и это повторяется

постоянно,

то

когда-нибудь останется величина, которая меньше,

чем меньшая из

данных величин" (эта лемма основана на аксиоме Архимеда

множе­

ства R ) ,