Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

Скачать файл (6,50Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.07.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Например, квдоке для нахождения объема пирамида методом исчер пывания разбивал ее на две малые равновеликие и подобные исходной пирамиде и на две призмы, общий объем которых больше половины объема исходной пирамиды. Попробуйте это сделать.

А мы покажем, как доказывали теоремы на примере такого утверж дения: площади кругов относятся как квадраты диаметров, на которых они построены.

•ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (от противного). Пусть даны два круга К и І ,

Рис. 2

площади которых

есть Q

и а

соответственно. Утверждается,

что

S A Z

тогда верно

о ~ IG&

Допустим,

что

1Gi

соотношение

—

причем'либо

либо

Т у q.

Пусть T ^ q .

. Тогда впишем в

круг I квадрат

со

стороной ІЕ.

Его площадь больше площади

полукруга

, так как площадь квадран

та, описанного

около круга к ,

вдвое

больше площади вписанного.со

стороной

І Е .

. Разделим

пополам дуги

IE , EG, GH , HI

построим

восьмиугольник

I K ENG М H l .

Тогда площадь каждого

из треугольников IKE , E N G ,

. . .

. будет

больше

половины

площа

ди соответствующего кругового сегмента ввиду того, что площадь

описанного около сегмента

прямоугольника больше-площади

сегмента

и точно равна удвоенной площади треугольника. Продолжая дальше указанный процесс с удвоением числа сторон и увеличением площади


правильных вписанных многоугольников,			согласно лемме Евдокса полу-,
чим, что сумма площадей всех		оставшихся круговых сегментов		будет
меньше разности q - T ,	а	площадь соответствующего вписанного
многоугольника fn скажется	больше Т.		Впишем тогда в круг К	много
угольник І і , подобный fn. Но		отношение подобных вписанных много -

130

ІЗІ

угольников равно отношению квадратов их линейных элементов, в частности - диаметров. Итак,

		8ДЛ	площадь//
		І й *	площадь fn
отсюда	0_ _	площадь// или		_0_ _	Т
	Т	площадь fh		пл-М	пл■/й
что нелепо, так		как	Q >пл.М,	Т ^ пл-fh .
Если	7><? ,	то: "Поменяй круги" - говорили древние греки.
Сохранилось		очень мало трудов греческих математиков. После

Евклида следует назвать Архимеда. Известно, что это был настоящий гражданин, внесший большой вклад в оборону родного города Сиракузы.

Известно, что это		был изобретатель многих механизмов ("винт Архи
меда",	метательные	орудия, "огонь Архимеда", "рычаг Архимеда" и
т .д . ) .	Мы здесь остановимся на математических достижениях знамени

того ученого.	Результатов	в математике у Архимеда много. Мы подроб
но расскажем	об одном - о	вычислении площади параболического сег
мента. При изложении двух		способов подсчета площади параболическо

го сегмента будем придерживаться современных обозначений и понятий.

Постараемся сохранить ход'мысли Архимеда.
	Исходим из .того, что в прямоугольной системе координат задано
множество точек, координаты которых связаны отношением
Как известно,			эта кривая называется параболой. Если взять на пара
боле	две	несовпадающие течки// и / / и				соединить их отрезком			пря
мой	(он,	этот	отрезок MN , называется			хордой параболы, сравните -
с хордой окружности), то меньшая часть плоскости, ограниченная
дугой параболы и хордой МК,					называется		параболическим сегментом.
	Результат		Архимеда звучит		так: площадь параболического				сегмен
та МОК		(рисунок 3)		составляет четыре		трети площади треугольника,
				•N(}*)		основанием которого			служит^
						хорда параболы Н К ,				а
			O y			вершина совпадает с			точкой
					ос	параболы,		где касательная
				m o )		к параболе параллельна хор
A M						де	Н К .	Вы видите,	что	на
			Рис.	3		до	уметь	проводить касатель
						ную к параболе, да еще				в

						направлении (параллельно				МЫ).

Архимед, используя труды другого знаменитого математика

Аполлония, умел элементарными средствами (с помощью неравенств и рассуждений от противного) находить на параболе вершину треуголь

ника. Архимед великолепно знал свойства парабол и уверенно владел методами геометрической алгебры; Заметим, кстати, что и парабола

в те времена определялась по-другому (ведь прямоугольную систему

координат

Декарт и Ферма придумали на 19 столетий позже).

Чтобы не перегружать изложение, мы предполагаем, что читатель

разобрался в том, что такое скорость изменения функции jc x ) .

Напомним,

что так называется

h m а - Um W .b z № b ) _

(если он

h+o

или

yVyy

это

ско-

существует)

и обозначается }

сх0)

ростъ изменения

j(x)

в данной

точке

Если

jcx) =

то

скорость изменения в

точке

х 0

будет

равна 2 х

В самом деле,

У (Х,+к)-/(Хв)

CXth) &

2. x

и предел

этого выражения при

— о

будет

2 х й.

Отсюда,

сле

дует, что

для функции jc x ) = x z

в каждой точке

х в

ыожно вычислить

скорость изменения функции.			Другими славами, скорость изменения
функции	-fcx)=xB	сама есть	функция, зависящая от х . Обозначим
ее так:	о-(х).	Здесь осх)=Ех .

Напомним геометрический смысл скорости изменения функции: это

тангенс утла наклона касательной в точке x D .

Переходим к доказательству результата Архимеда.

Первый способ (метод исчерпывания) мы изложим в виде четырех

лемм и теоремы.
ЛЕММА I . Пусть дана парабола		у * х &,	две точки	на ней	Н Са - а в)
N	и Ж (6;		. Точка С	лежит на пара
	боле	и касательная к параболе СЕ парал
// г	лельна M N .		Тогда абсцисса		точки С
// г	есть		(точка	Д -	проекция

"É

Ь ЭС

Ъ л

Рис. 4 для прямой СЕ через Ксе '

точки С на	ось Or , см. рис.	4).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Тангенс угла		наклона
касательной	к параболе ^ x ^	вычисляет

ся по формуле осх) - Ex- Обозначим его

132

Тангенс	угла	наклона прямой МЯ				(обозначение		) вычислим
по формуле
		- l & N b l m l _		é ß- a S .			éfa
		~ /оы '/ool		6-а
(из прямоугольного		треугольника		MMNt			имеем отношение	длин кате-
тов).
По условии СЕПИЯ. Значит,				КС £ -КИУ			или
	.	.	X	а +6
	E X ; a t b ,			= —	( а+Ь\Е
Это абсцисса точки С . Её ордината
Замечание. Верно обратное утверждение: если точка С								такова,
что С ( ^ ,	( ¥ г ) £)	,	то	СЕПИЯ.
ЛЕША 2 . Площадь треугольника					ИСМ		/ 6- а \ 3
							равна ( -£ - J
квадратных единиц (см. рис. 4 ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим			через		2	искомую площадь. Кроме того,
пусть sf -	площадь трапеции		ДМЯВ,			s£	- площадь трапеции ДИОД