Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

/6 - а \

г £ я

,£ i

= ( —

) [ а - £ — v------- - t S

У--

-

( ~ J [ £ a &- а*-ЯаЬ- é et £ t &]

=

- #

)

ß - ‘ ] ‘- ( t y .

ЛЕША 3 . Пусть внполне

условия леммы I и сверх того на дуге

h

параболы с х

выбрана тонка F

так,

£

что

FL 11СЯ .

Тогда площадь треуголь­

ника CFN

в восемь

раз меньше

площа­

ди

треугольника

ИС Х

(см. ряс.5 ).

£ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через S'

площадь треугольника

cfW,

через

х

^

-

площадь трапеции

KF ,

чѳ-

*

рез

Sf

площадь трапеции

FK&H.

Площадь трапеции

СДВН

по-прежне­

му будет

^ .

Тогда

_ __

—_

/Q+іЬ

/СиЗЬ\£ \

точка

Точка F

имеет координаты

( -

у

;

( - у

- )

J

у ( Р ±4а; о )

.

ц

>

I

ч

■

,

является проекцией

Точки F

на горизонтальную ось. На­

деемся,

что

абсциссу точки F вы

найдете

сами.

Следствие

I . Площадь треугольника

GMC,

, где точка в

взята на дуге

параболы И С ,

GHI/MC

равна 6

(доказывается

так

же, как и для

треугольника

CFH ) .

Следствие 2 . Сумма площадей треугольников GMC

и CFN состав­

ляет

четверть площади исходного

треугольника

МОЯ,

Итак, отправляясь от

площади треугольника • м с Я ,

,

которую

мы обозначили

через

S,

мы вписали

в дуги параболы

Я С

и СЯ

треугольники,

общая площадь которых

составляет

четверть площади

треугольника

MCN.

Если мы теперь впишем в дуги

MQ , GC, CF, РЯ

треугольники,

то общая площадь четырех новых треугольников будет

в четыре

раза

меньше общей площади треугольников

MGC.

и C F N ,

площадь

многоугольника MGC F N

равна S +^S.

Площадь

следующего многоугольника будет равна

будем

иметь бесконечную числовую последовательность общих площадей

новых треугольников

.

Здесь

V s ’•

,

/

і

,

Я ^ ц Я ,

Япн Ң Я * ■

Ч(%*Я^-*Япгі+% )= Ч *(% +*%+■■■*

+Hqj,

то из

соотношений

% ' Н ^ і ’

’•■■ ’ % м = чЯп

следует, что

а это

значит, что

+ % . Ч + Ч ^ Ч + Ң + Ъ * - ' 7 * - A ■

дение леммы 4 .

сегмента MG осРЯ

/

ТЕОРЕМА. Площадь параболического

(рис. 5

)

есть

четыре

трети

площади треугольника

М Я .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим площадь параболического сегмента

MGOCPM

через

Д,

площадь треугольника

МСЯ

- через

Я,-

Нам надо доказать, что

Здесь можно применять лемму Евдокса, ибо площадь параболическо­

го сегмента больше площади треугольника

М С Я ,

а

та в свою очередь

равна половине

площади параллелограмма со сторонами, параллельными

попарно

М Я

и

CF,

а

также МД

и

М& .

Значит,

площадь

сегментов

MGC

и CFN (ри с.5)

меньше половины

площади

сегмента

MGOCFN.

Ясно,

что

если в сегменты MGG

и СРЯ ~ тем же способом

вписать

треугольники,

то сумма их площадей будет больше половины суммы пло­

щадей самих сегментов, и поэтому сумма площадей оставшихся после

второго

вписывания четырех

сегментов

(р я с .5) будет меньше одной

четверти

площади данного

сегмента.

Таким образом, продолжая этот процесс

вписывания многоугольников

в сегмент,

можно добиться,

что

сумма площадей

оставшихся сегментов

будет меньше любого наперед заданного положительного числа.

Итак,

надо

доказать,

что

й= і

Яі ■

Предположим противное, и

пусть

^

h r

Мы только что убедились,

что разность

Подберем пеМ

так, чтобы выполнялось неравенство

Тогда

Я- C q+q^ ... " Я п - ^ ^ - з Я , ■

■1« -/>>зЯ, ■

Но это по лемме 4 невозможно. Значит, неравенство

неверно.

Пусть тогда

ft < ^ q

.

Но члены числовой последователь­

ности (qn )

стремятся к нулю. Это

значит, что пеК можно подобрать

так, чтобы было верно следующее неравенства:

/? * < ! « - * •

Но с учетом лвмыы 4 из. последнего неравенства получим нелепицу:

(Я, + Я&+:- Ч п -і)-

Следовательно, остается

одно

я=І'я,-

Второй способ

(рычаг Архимеда)

Для его

обоснования докажем интересную лемму 5 . Результат

параболы у-л?2,- РЛНОц,

точка Q принадлежит

пара-,

боле,точка ß

- хощ е

M N ,

а точка р

-

касательной

к параболе

в

точке J i ( / X Y i

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Уравнение прямой МР

имеет вид

у - [lax-eft.

(В самом деле, если

х = а

,

то

Тангенс угла

наклона

прямой

Совпадает

с

тангенсом

угла

наклона касательной

к параболе в

точке

<

*>•

точек

Л, Q , S. Р

есть х

. Тогда имеет место

• Пусть абсцисса

отношение

/ИЛ!

_ 6-х.

ШМІ ' 6 - а

по свойству проекций отрезков МН и

МЛ

на горизонтальную

ось Ох.

Докажем,

что

/ОЛІ _ 6- х

IPRI ' 6 - а

Для этого подсчитаем

/ОЛІ

и

/РЛІ.

Ординаты точек

H.Q.S.P

есть

числа

у ; х л; 0 ;

Л а х - а ^

(

S

- точка пересечения прямой

РЛ

с

осью Ох),

причем

.

у=(а+6)(х -6 ) + 6л

(дело

в

том,

что

/у /

есть

длина

отрезка

R S ,

величину

/у /

можно найти из отношения

k J = ±* =i l l

)

1N ' %

б ^ - а * )

Длина отрезка

QP

(рис.

6

)

есть

ISPH/RSI-IQSI =

= ( 6 -х)(х-а) .

Длина отрезка

РЛ.

(рис.

6

)

есть

ІР Л Ь IR5I+IPSI = /у /+

i £ a x - a £l= y t ( c f t - 2 a x ) -

- (6- а ) ( х - а ) .

Отсюда окончательно имеем

/ал/ (6-хХх-а)

6- х

ІИЛІ

ІРЛІ (è-co(x-Q)

"

6- а

'

IMNi

Утверждение. Пусть в треугольнике

MNV сторона МѴ есть

касательная

к параболе

в точке М, сторона ИѴЦОу и

пусть

точка

Т такова,

что

І Т /

= / Т Л .

/

Кроме того, П Ц Оу.

Тогда площадь параболического

сегментаMCfTN

составляет

четыре трети

площади треугольника

MTN .