Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

совпадает

с

точкой й

(рис.

4 ) .

Действительно точка

I

является

серединой

хорды И Я

(лемма 5) ,

значит,

ее

абсцисса

■

Ту же абсциссу имеет и точка Г.

Кроме

того,

точки С

и Т

находятся

на параболе, значит, они совпадают.

Отсюда получается, во-первых, что треугольники

МТЯ

и МСЯ

совпадают;

во-вторых,

прямая мт

является медианой MIL в треуголь­

нике ммѵ.

Отложим на продолжении

MU

(см .рие.7)

отрезок

UW

так, что

l U - w h - l M U l .

Представим

себе,

что отрезки

МП

и u w являются плечами рычага

с точкой

опоры

и..

Представим

себе далее,

что треугольник - м Я ѵ

состоит из "не­

делимых"

(по

Кавальери) отрезков, параллельных направлению Я Ѵ .

Один из

них,

отрезок

РЯ ,

, выделен на

рисунке 7.

Отрезок РЯ

привешен к плечу

рычага

я а

в точке 2..

Его урав­

новесит

отрезок, длина которого

совпадает с

длиной отрезка

QR.,

но привешен этот отрезок будет к плечу

u w

в точке

W .

В самом деле, если

/РЯІ -П Ш = IQRI -IUWI ,

•

'

то

рычаг находится в равновесии. Но последнее равенство справедливо.

Допустим, что это так. Тогда

/ОЯІ _ IUZI

ІРЯІ ~ IÜWI

Из

подобия треугольников МЯѴ и Я Р Я имеем

ItUU

IN R I

IMtl!

/ И NI

Значит,

IQRI

_

I N R !

IPRi

~

I M N I

ибо /UV/1=

IMU-I

по построению. А последняя пропорция верна по

лемме

5 .

И

если

считать,

что

площадь треугольника является совокупно^

мента

M O T H

в три раза меньше площади треугольника MMY

(центр

тяжести

последнего

делит медиану

МП

в отношении 2 : 1 ,

а параболический сегмент

приложен в точке

W

) .

Результат Архимеда получается из того факта, что площадь тре­

угольника м н у

вчетверо

больше площади треугольника NPH.

Мы изложили одну задачу, полностью решенную Архимедом.

Он ре-

- шил еще несколько задач,

связанных с подсчетом. площадей и

объемов.

Однако в его решениях не

было стандартного подхода. Каждую задачу

он решал, изобретая метод, учитывающий условия данной

задачи.

Единый подход появился после трудов Ньютона (1643

+ 1727)

и

параболы

г/-л г-

т .е . X

Пусть

задана кривая

на отрезке

удовлетворяет неравенствам

o ^x^é .

Ю ; 6]

на

Разобьем отрезок

равные части

длина каждой

пусть

будет

іО

'

п е К . Отрезок

I ,

где

[О;6]

разбит

на

п

равных час­

тей. Каждая из них пусть будет

Рис. 8

основанием прямоугольника. Высо­

той прямоугольника

будет служить

1

ордината функции у=л:'8

в правом конце основания.

Площадь криволинейного

треугольника ON& ( рис. 8 ) мы по­

кроем площадью ступенчатой

фигуры. Эту площадь можно подсчитать.

Площадь первого

прямоугольника есть

s A

( А ) 1

Г п ( п )

Площадь второго

прямоугольника есть

_ 6

П~

п

( п )

TL

Складывая эти

площади,

получим

Но мы знаем,

что

2

п(п+і) (Zn+i)

І

J

=

1

+ 2 +.:. +n

-------------------

6

бесконечности. В результате обратная величина

^ стремится к нулю

и в качестве

предела мы получим число &3/ .

Заметим,

что для полной уверенности в том,

что мы верно нашли

ONß. Мы

поступим

так: сдвинем вправо вдоль оси Ох

на отрезок ^

предыдущую ступенчатую фигуру. Тогда

на

первом от

точки О отрезке

длины ~

прямоугольника не будет, а

за

ординатой'^"справа появит­

ся прямоугольник у

Его площадь при неограниченном увеличении а

Если

точка В (рис.

8)

имеет абсциссу

а

то площадь криволи-

нейного треугольника в

этом

случае будет

— ■

Если

то площадь криволинейной

трапеции равна è3- a }■

(рис. 9

) , то

достаточно

из

площади

обычной

трапеции ДМЯВ

вычесть площади заштрихованных

криволинейных треугольников ДОМ

и ВОЯ.

Рис.

9

Итак*

з

-- -

( а ^ ) ( Ь - а ) - ^ =

,

сет .

£

3

6

приводит к понятию производной (мы ее

называем

скоростью изменения

функции

(/((О). Вторая проблема ведет к интегралу

(так называется

площадь криволинейной трапеции или треугольника).

В терминах площадей результат Ньютона и Лейбница дает

о с ­

н о в н у ю

т е о р е м у

м а т е м а т и ч е с к о г о

а н а л и з а .

Скорость изменения площади криволинейной трапеции,

ограничен­

ной кривой

у - Jeu) , в данной

точке х о

равна значению функции

tj=Jcu)

в

этой точке хо ,

т .е .- J№„).

Поясним

это

следующим рассуждением:

пусть на рисунке 10 площадь криво­

линейной

трапеции двед

есть функ­

ция от

абсциссы X .

. Обозначим ее

Sex).

Площадь криволинейной тра­

пеции

BBEF

есть

S(i).

Приращение

площади

S ä ) - S ( x ) .

Это площадь

криволинейной трапеции сДЕР.

Рис. 10