Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

Пусть на

отрезке [ х \і]

наибольшее значение функции

y=Jcu.)

есть число М,

наименьшее значение

функции

y=JEu)

на отрезке

[х-,і]

есть

число

т . Ясно, что

площадь

сдер

не превосхо­

дит площади прямоугольника с основанием еі-х)

и вы сотой//, но

ш ■а - х ) 4 S a ) - SEX) 4 и - а - х ) .

Мы рассматриваем

случай,

когда

і у х .

Разделив

на Еі-х)

цепочку

неравенств,

имеем

Sd) - S EX)

4 M

т у

1- х

Если функция y=Jeu)

то

при

стремлении

t

к х

обе •

непрерывна,

величины М

и т

стремятся к значению функции

y z J EU)

в точке

и-X ,

т .е . к

значению

J EX).

В таком случае можно

считать дока­

занным,

что

S EX) - lim

SEi) - SEx)

i - X

-- J EX) .

i~x

Определение. Функция SEX),

д л я

которой данная функция

у -

zjEx)

является производной,называется первообразной для функции

у - / «

Функцию

Six)

можно угадать для не очень сложной функции у-

=JEX).

7

Скажем,

если

,

то

S EX)

+ С ,

где б

-

произвольное действительное число (проверьте).

Естественно

считать,

что

SECÜ=O

(рис.

10). Из

этого

согла­

шения находим С,

если

З Е а ) +С- - о;

•

с = -

J

-

ö

Итак,

площадь криволинейной

трапеции йВСД

есть

00

S(x) - SEQ).

Площадь криволинейного треугольника ЛОВ'

(рис. 9)

есть

j

SE&J- BEO),

где

S Ex) - -

S(o) --J - .

Значит,

площадь криволинейного

тре­

угольника ЛОВ

равна

ш

- f

Итак, для данной функции

ij=J(x)

надо найти

первообразную

' F(x),

т .е . такую функцию,

что

F'cx) = j c x ) .

. Для вычисле­

ния, площади криволинейной трапеции

надо

воспользоваться формулой

Ньютона-Лейбница: площадь криволинейной трапеции

есть F m - Fm)

На этом проблема нахождения площадей не завершается. Новое

слово в

ней было сказано, в начале

нашего столетия крупным математи-

Заключительные замечания к пособию

В нашем

пособии не встретилось много важных вопросов: уточне­

ние понятия

уравнения (например, является ли х

= 1 уравнением?);

сические

неравенства; обсуждение теории и практики вычисления

площадей

и т .д . и т .п . Но

"нельзя

объять необъятного"

и мы пред­

лагаем список литературы,

которой,

может

быть,

воспользуется лю-

, бознательный читатель и почерпнет из этих

книг

гораздо

больше

по сравнению с данным пособием.

для студентов

подготовительных отделений

высших учебных заведений)..

[14 .1] См. предыдущее пособие, Изд. 3 ,

М.,

1972 .

[15]

Шахно К .У ., Пособие по математике для

поступающих в выс­

шие учебные заведения, Изд. ЕГУ, Минск, 1961 .

[16]

Киселев А .П ., Геометрия, часть первая. Планиметрия, учеб­

ник, Изд. 18, М., 1959.

[17]

Фор Р .,

Кофман А ., Дѳни-ПапенМ-Современная математика,М.,

"Мир",

1966.

ВВОДНАЯ ЧАСТЪ

1 .

Что такое математика?

2

часа

2 .

Самостоятельная работа

-

2

часа

3.

Разбор задач из самостоятельной работы

(задачи по алгебре с арифметикой и комбинато­

рикой - 2 часа; по геометрии

- 2 ч а са )

4

часа

4 .

Разбор варианта письменного

выпускного

экзамена прошлого года

2

часа

АЛГЕБРА И АРИФМЕТИКА

1.

Основная теорема арифметики

(формулировка)

Н.О.Д. и Н.О.К. Связь с произведением. Беско­

нечность множества простых' чисел

2

часа

2 .

Метод математической индукции

2

часа

3.

Системы счисления.

Числа, включая и

алгебраи­

ческую форму комплексных чисел

2

часа

4.

Логарифмы. Модуль перехода

2

часа

5 .

Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Формула Моавра, следствия из

нее

2

часа

6 .

Уравнения. Равносильность уравнений, условия

ее сохранения

2

часа

7 .

Правила получения

равносильных неравенств.

Геометрический смысл решения линейных

и

квадратных неравенств

2

часа

8.

Системы и совокупности уравнений и неравенств

2

часа

9.

Опрос по пройденному

материалу

2

часа .

10.

Об особенностях решения уравнений с параметрами

2

часа

11.

Тригонометрические и

показательные системы и

совокупности уравнений

2

часа

12.

Смешанные системы

I

час

13.

Простейшие задачи

линейного

программирования

I

час

ГЕОМЕТНШ

I .

Основные множества (геометрические места) точек на

плоскости

и в пространстве

3 часа

2 .

Различные

определения

окружности

I

час

3 .

Какие задачи можно решить, не используяаксиомы

I

час

о параллельных прямых?

4 .

Осевая симметрия. Ее роль при доказательствах и

построениях

2 часа

6 .

Подобные фигуры. Метод подобия в решении задач

,

на построение

2 часа

6 .

Геометрические преобразования. Инверсия.

Задача и окружность Аполлония

2 часа

7 .

Вычисление площадей, объемов и длин простых

геометрических фигур

(площадь треугольника,

объем пирамиды)-

3

часа

8 .

Длина окружности, площадь круга. Поверхность и

объем круглых тел

3

часа

9.

Параллельность и перпендикулярностьпрямых и

плоскостей,

Скрещиваициеся прямые

I

час

•10. Свойства

трехграяных

углов (на основе теорем

синусов и косинусов для трехграяяого угла).

Использование этих свойств в задачах на вычисление

2

часа

Л . Искажение площади фигур при проектировании

I

час

12. Правильные многогранники. Формула Эйлера

I

час

13. Связь геометрии с алгеброй. Теорема Птоломея.

Метрические соотношения между элементами геометри­

ческих фигур на плоскости и впространстве

2 часа

14. Опрос (коллоквиум)

2

часа

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

1 .

Деление многочленов. Схема Горнера

- 2

часа

2 .

Уравнения в целых числах. Цепные дроби

2

часа

3 .

Графическое

решение уравнений

I

час

4 .,

Нахождение

приближенного значения корня

(метод "вилки" и метод хорд)

2

часа

5 .

Доказательство некоторых логарифмических и

2

часа

ярягоноыетрических неравенств