Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

Предположим, что при

п-к

к ч+1(1+2к*) = ( к &+1)\

это

выражение делится на 64, Если после проверки мы получим,что

при

п = к+£

выражение

Ct+£)r+ ? f7 + £ r t+ £ ) ej

тоже делится

на 64, то

принцип математической индукции позволяет

утверждать,

что исходное

утверждение справедливо.

. Проверка.

(к+£)\7П+£(к+£)г1 --/ (к+£)л*і]*=

(k &+9k-HH7)â = (k&+9k+H)â=

к 4+I6k2 +l£l+8k3+ £ £ k 2 +88k =

Скч+17/кя+ т

+ (8k3+ 29kS+88k +72) =

ли она на восемь? Попробуем разложить эту сумму

на множители:

к 3+Зк2 +Нк +9= Ck3+ßk2+k) +Ck2+2k+]) t (8к+Ю=

к (к&+£к+1)+(к&+2к+І) +8 (к+О =

кСк+і)2 + (k-tlf +8 Ck+l) - (к+03 +8СЫ).

Теперь уже видно, что можно было сделать проще

последнюю выклад­

ку: вспомнить, что ск+!)3 = к3 +3к2 +3к +!

,

отщепить это вы­

ражение от рассматриваемого, т .е . записать, что

к3 +3ке + нк+9=

Ск3+Зкг+5к +1) +(8к+8 ). Итак,

Опять обращаем внимание на то,

что к

- нечётное число

(по усло­

вии). Тогда

(кН)

- число чётное;

( к Н / -

делится

на четыре;

L(k+l)*+81

-

делится на четыре ,и,

наконец,

к 3+Зк&+Ifк +9

делится на восемь,

что и требовалось

проверить.

Решение девятой

задачи

Условие

задачи: упростить

выражение

l / n f ^ / H ä f / п а * - i t â } /

~ ä ]

при j - t a * / .

,

(А если - Ы а - ю ,

то

как решать

задачу?)

вовсе их не содержать). Б таких задачах

возможен произвол

со

стороны преподавателя в том емнеле, что

заранее неясно, какой вид

преобразованного выражения больше всего

понравится преподавателю,

п а

_

1 - а

______ / н а

/ п а к ' . і+ а

/ н а ^ - й - а . )

/ п а - / п а

Исходное выражение

примет

вид

г

/на

/па

7 /на*-/

I /н т - / н а

/ н а - / и щ

а

/І+а

*/ңа

/і-а*-1

/ н а

- / н а

а

( / н а

+ / н а ) ( / н а - / н а ) • (/нс? -і)

&а

с /н ? - 1 )

'

. ( / 7 ä - / H o W

а

’ ( / н а - / н а ) “ '

а

_

2 ( /н а * - / )

_ 8. ( / п а * -П = [

~ Н а н - а - £ /( п а к н а )

г а - / н а * )

при о^а-сі

Эту задачу можно было сформулировать и так: пусть

задана функция

г

,г -

, „

, г Г,------

,

7

*

ж * / н а +

- . lf J [ j / 5 ^

' â l -

Доказать,

что

она от а

не

зависит. Точнее

надо

сказать

так: до­

казать, что в

заданной

области

определения функция

j c a )

равна

постоянно

числу ( -У

) .

В таком виде следует

проверить,

нет

ли среди

названных значений а

( о < а < 1 )

таких, при которых

получится нуль в знаменателе. Желающие могут убедиться,

что

опас­

ными значениями для jc a )

являются только

a -о

и

<2-У,

которые

из области определения функции исключены.

И ещё одна задача монет быть сформулирована на основании рас­

сматриваемой

задачи на

экзамене: построить

график функции jc a )

кладываются значения

а.

, по

вертикальной

оси

значения функции

j(a).

Решение десятой

задачи

Задача заимствована из

(16

,

§ 68]. Вторая часть

задачи (касающая­

ся разности

двух

сторон)

приведена тад< не в

[16]

в

виде

задачи

№34 на

стр. 41.

Будем

вести

рассуждение

без

чертежа

(разбирающий

эту

задачу

с карандашом и бумагой воспроизводит чертёж сам).

Первый случай. Построить

треугольник,

зная

его

основание Ь,

угол оС,

прилежащий к основанию,

и суш у

3

двух

боковых сторон.

1) Анализ. Предположим, что задача решена, т .е .

найден та­

кой й ЙВС,

что

ДС-6,

z #-<=■£,

flö+ BC-S.

Построить

с

помощью цир­

куля и линейки

ДС ,

^Д

мы можем. Остаётся найти

на

другой

стороне

угла Д

такую

точку

ß

,

чтобы сумма

ДВ + ВС.

равня­

лась

S.

Важный момент: продолжив

ДВ ,

отложим

отрезок

ДД ;

равный

3.

Искомая точка

ß

должна быть одинаково

удалена

от

точки С

и точки Д ,

. т .е . лежать

на

перпендикуляре,

проведенном к отрезку

СД

через

его

середину (этот

перпендикуляр называют

ещё медиатри-

сой

отрезка

СД

) .

Итак,

план построения

готов.

2) Построение. Строим z К - ос. На одной его стороне отклады­

ваем

отрезок KL = Ь ,

на другой

К Я - S. Соединяем

точки

L и Н

отрезком

прямой. Через

середину

отрезка І Я

проводим

перпендику­

ляр МО.

Точку

Л

соединяем

с

точкой

М

-

точкой

пересечения

перпендикуляра

МО

со

стороной

КЯ.

Треугольник

K L M -искомый,

ибо по построению в нём z MKL

~ ы. ,

основание

KL

- 6

и K M + M L

= S .

самостоятельно

эти

теоремы

и аксиомы полезно тому, кто

их забыл,

см. например,

[12]

, § 7) .

4) Исследование, Задача не всегда возможна. Если

s ^ 6 ,

то построение

невозможно,

ибо

нарушено неравенство

треугольника.

Если s > b , то

в учебнике [16]

утверждается, что есть

случаи,когда

две

окружности радиуса s ,

одну

с центром

К ,

другую с

центром

L.

Точка Я

■ вершина вспомогательного

треугольника

Х і Я —

находится на первой окружности (центр К ,

,

радиус S

) .

Если из

центра К

опустить перпендикуляр на сторону

LM ,

то

он разо­

бьет эту сторону на два

отрезка,

причём

к вершине Я

будет при­

мыкать отрезок большей длины,

чем

отрезок,

примыкающий к верши­

не

L (наклонная

K H - s

больше наклонной

IX = 6 ) ,

. Значит,

середина стороны

L N

ближе к вершине

Я .

Если через

эту

сере­

дину провести

перпендикуляр,

то точка

К

окажется в

той же по­

луплоскости,

что и точка

Z.

А последнее

утверждение

означает

,

что

проведённый перпендикуляр обязательно

пересечёт сторону К Я

в точке И ,

,

и треугольник

KLM

всегда

существует.

Наконец, если решение есть, то оно в данной задаче одно (как

говорят, решение единственно), ибо перпендикуляр МО

пересекает

прямую ХМ

в

одной точке

(

о° < ы.-< 180°).

Второй случай

Построить треугольник

по

основанию,

углу,

прилегающему

к

.1) когда дан меньший из двух углов,

прилегающий к основанию, 2)

когда дан больший из них).

Решение. I) Пусть основание по-прежнему равно

6 ,

угол ы.

меньше другогй угла при основании ( обозначим его [

) ,

разность

боковых сторон равна г . . Анализ проводим так же,

как в первом

случае: предположим, что в найденном треугольнике

ДВС.

оснований

ДС = 6 ,

^ А = ос

(ибо во всяком

треугольнике против большогсі

угла ( [

) лежит

большая сторона).

Значит, точка

Д

такая, что