Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

роение, обоснование, исследование проводятся так же, как при ре­

треугольник. Речь идёт, таким образом, о подсчёте числа всевоз­ можных подмножеств, в каждом из которых три различных элемента (точки, служащие вершинами треугольника), а элементы выбираются из десяти различных, элементов (точек). Искомое число называется

Но из этого числа надо выесть число "неполучившихся" треугольни­

Ответ: существует 85 треугольников, удовлетворяющих условию задачи.

31

Решение двенадцатой задачи

Эта задача тоже из числа комбинаторных.

Слово "поиск" состоит из пяти различных букв (элементов).

Различных буквосочетаний будет столько же, сколько.возможно сде­ лать перестановок (одна от другой отличается порядком элементов). Число различных перестановок из пяти элементов Ps ~ 5\ - I-2-3-4S-120.

Ответ: 120 буковосочетаний по пяти букв в каждом.

В слове "атака" тоже пять букв, но различных букв всего три, Поэтому от перестановки первой и третьей или первой и пятой, или, наконец, третьей и пятой букв первоначального слова не будет полу­

меньше общего числа перестановок. Для проверки можно выписать эти буквосочетания (множество буквосочетаний):{ааатк, аатак, аатка,

задачи,одна по стереометрии), по арифметике (на делимость одна

■задача и две задачи по комбинаторике). Нам кажется, что такое рас­

пределение задач типично.для контрольной работы в школе с услож­ ненной программой по математике (в будущем, мы надеемся, подроб­ ное распределение не удивит и обычного школьника).

Типична, на наш взгляд, и постановка задач. Например, по планиметрии-это задачи на геометрические места точек и на пост­ роение циркулем и линейкой без делений; по алгебре - это решение и доказательство неравенств. Именно на таких задачах приобретает­

32

ся и оттачивается математическая культура, то есть умение ввделить главное, умение проследить за цепочкой рассуждений, выявляя и обосновывая места, где нарушается эквивалентность рядом стоящих утверждений, умение найти в данной задаче части, которые являются

известными Вам задачами; наконец, умение переформулировать (поста­ раться это сделать) задачу так, что в новом виде её решение нахо­ дится легче.

33

Не претендуя на полноту, познакомим читателя с теми "кирпичи­ ками", из которых складываются математические утвервдения и рас­

суждения, которые убеждают в правоте высказанных утверждений (та­

кие рассуждения называют доказательствами). Мы постараемся объяс­

нить, почему для опровержения некоторого утверждения достаточно

привести один пример. Так для того, чтобы убедиться в ложности утвервдения: "если.в четырехугольнике диагонали взаимно-перпенди­ кулярны, то этот четырехугольник естьромб," - надо всего лишь

изобразить четырехугольник со взаимно-перпендикулярными диагона­

многоугольника и углы многогранника, функции, соответствия и т . д . , и т .п .) .

ми). Свойства и отношения обозначаются другими символами в сочета­ нии с теми символами, которые взяты для обозначения объекта. Обычно для. определённого свойства или отношения употребляются определенные.общепринятые символы.

Познакомимся с некоторыми наиболее важными из них.

34

§ I.Алгебра высказываний

Некоторые из рассматриваемых в математике объектов называет­

ся высказываниями. Мы не будем давать точного определения того, что такое высказывание, и ограничимся только пояснением.его на­ глядного смысла.

Высказыванием в математике называется всякое предложение,ко­

торое утверждает, что тот или иной факт имеет место или, напротив не имеет места, или, как говорят, которое содержит определенную информации. Высказывание может быть истинным, если та информация, которую оно сообщает, соответствует действительности, и ложным, если это не соответствует.

Например, предложения:

1)двадцать семь больше шестнадцати;

2)если четырехугольник ромб, то диагонали четырехугольника перпендикулярны;

3)простых чисел конечное число -

являются высказываниями. Пёрвые два из них, очевидно, истинны, последнее ложно. Приведем'примеры предложений, не являющихся вы­

информации, которую содержат отдельные высказывания и т . д . , - ми оставляем здесь полностью в стороне. Единственное свойство выска­

зываний, которое интересует нас здесь, это то, что высказывание может быть истинным или ложным.

Высказывания мы будем обозначать отдельными буквами /Р, В, приписывать значение "единица", если высказывание истинно и значение "ноль" если оно ложно. Иначе говоря, запись

высказывание "число/г делится на . 2 и больше 15". Из высказываний "завтра будет хорошая погода", "мы пойдем в лес" можно образовать высказывание "если завтра будет хорошая погода, то мы пойдем в лес'.

35

Алгебра высказываний описывает способы, с помощью которых одни высказывания получаются из других. Основной вопрос , кото­ рый нас будет интересовать формулируется так: как найти значение составного высказывания, то есть как узнать истинно оно или ложно,

Забегая немного вперед, можно считать, что новое высказывание яв­

36