Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.07.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
2 заряженный конденсатор получает возможность разряжаться через активное сопротивление Л и индуктивность L -
Б момент коммутации ток в цѳпи отсутствует, поэтому на
чальные |
условия запишутся так: |
||
при t |
= 0 |
ис(о) = Е, |
І(0)-0. |
Напишем уравнение баланса напряжений в контуре по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений:
где
и.г~ІГ- мгновенное значение напряжения на активном |
||
|
сопротивление; |
т |
tJ-L — L~7T - |
м-новенноэ значение напряжения га индуктивѵ |
|
• _ / / • . , , |
«ости; |
-s |
Uс ~~c~J |
+ |
|
-Ë^/Vrfif«-мгновенное значение напряжения, |
||
|
'на et.ee пя, |
[ . |
Выразив ток L через напряжение на емкостиаГ1 i-C-J^-t |
||
de |
u L d i |
|
Разделив каждый член уравнения ьа/с'и обо-ліачич
поіучин t z
2 -
r T T 7ГТ~ c~0. (1.48)
un
Состазим характеристическое уравнение дифференциаль ного уравнения (1.48)
яг
р+ 2$р +а30 -О
инайдем его корни:
Следовательно, общее решение уравнелия (1.48) имеет
ис ~ Яі е. + Нг г ,
Для определения неизвестных постоянных интегрировани применим начальные условия.
При t = О
иі(о)=Д/ + Дг=Е,
Решая полученную систему уравнений
вг й - Е \ ,
Подставив найденное значение постоянных интегрирова ния в общее решение, получим:
Y'c =(1.50)
t
u,=L-!?j-=Ee~âi(~chzi |
+ -§-sbzé). |
( I . 5 I ) |
|
i- dt |
* |
|
|
Изменения напряжений и тока в контуре определяются |
|||
величинами ( Г и г . Величина |
X =W-и)0& |
' |
в зависи |
мости от значений параметров контура |
Л, L} |
С может |
|
принимать вещественное, нулевое и мнимое значения. Рас смотрим каждый из этих случаев л отдельности.
Первый случай .г г
Найдем значения активного сопротивления и добротно сти контура в этом случае:
У
Активное сопротивление контура больше удвоенного ха рактеристического сопротивления контураі добротность кон тура меньше половины, а <f является вещественной поло жительной величиной.
Рис.1.28.
Для удобства анализа запишем выражения ( І Л 5 ) , (1.50) ч (І.5І) в слодучщеч виде:
L =- |
-е |
4.3ак.?30оф. |
49 |
|
и. - -f~, |
(д + хк |
-кд-зк |
/, |
и, = у^- |
\ià-z)e |
-(ô+z)e |
J . |
Напряжение и ток определяются разностью двух экспо нент, Экспоненты имеют разные начальные значения и разные скорости убывания.
Нарис. 1.28 изображены экспоненты, определяющие ток разряда конденсатора. Обе экспоненты имеют одинако
вые начальные значения, но разные скорости убывания. Раз ность этих экспонент определяет харрктѳр тока разряда. Ток разряда /рис. 1.29) имеет отрицательное значение.
Рис.1.29.
Обычно направлено напряжения на каком-либо элементе це пи(рг.с. 1.30,1". J направление тока через этот элемент считает совладевшими и приписывают им определенный знак: положительныйили отрицательный. £сли ток протекает в противоположном направлений, то он имеет другой знак, чемнапряжение.• в данном случае направление тока разряда (рис. 1. 30,6 ) противоположно направлению напряжения на конденсаторе, полгоиу он и имеет знак отрицательный..
Нарис. І.ЗІ изображены экспоненты, определяющие на пряжение на конденсаторе. Первая экспонента имеет началь ное значение , а вторая ((?- зе) . Первая экспо нента убывает медленное второй, так как в показателе сте
пени первой экспоненты коэффициент пт t |
равен |
|
•(a~-.JP), ы во второй экспоненте он равен — |
+ а?Л |
|
50
Разность этих экспонент определяет характер изменения напряжения на конденсаторе (рис. 1.32).
Рис. 1.32.
t
Рис. 1.33.
Ца рис. 1.33 ."изображены экспоненты, определяющие напряжение на индуктивности. Первая экслонѳнта имеет маньшѳг начальное значено, чем вторая, но она убывает медленнее пѳрвсі и поэтому ле;:ѳоекаѳтся с ней.
Разность этих экспонент определяет характер изменения напряжения на индуктивности (рис. 1.34).
Ui
Рис. 1.34.
Кривые изменения тока и напряжений можно также по лучить из формул (1 . 49), (1.50) и ( I . 5 I ) , выраженных через гиперболические функции. Так, ^іапример, на рис.1.35.
ток построен по формуле і-~~'^ |
~ |
-' |
- |
|
как |
е |
|
shxt. |
|
L |
|
произведение экспоненты и гиперболического синуса. При
этом |
необходимо учитыва'ть, что экспонента £~ |
убы |
|
вает |
быстрее, чем возрастает shx£ = û?â(e -£ |
),так как |
|
Следовательно, их произведение при t |
--*°остремится к |
||
нули. Результаты построения в обочх |
случаях, |
конечно, |
|
одинаковы. |
|
|
|
Рис. 1.35.
На рис. 1.36 одновременно изображены кривые тока и напряжение на емкости и индуктивности.
Из рассмотрения графиков видно, чго |
разряд конденсатора |
|
через Л и L |
в случае Г ^2 р имеет апериодический |
|
характер. Электрические цепи Г; L, С |
, в которых свободные |
|
колебания имеют апериодический характер, называются апериодическими цепями.
Рис, І.36„
По сравнению с разрядом конденсатора через одно актив ное сопротивление разряд "ерез активное сопротивление и индуктивность имеет существенное отличие. В первом случае ток разряда скачком возрастает ,от нуля до максимального значения, а потом плаьно спадает. Во втором случае ток плавно нарастает от нуля.до максимального значения, а по- • том плавно спадает. ТаксЧ характер тока разряда определяет ся наличием индуктивности, через которую ток не может' на расти скачком. Из рисунка І.Ъв видно, что в момент вклю чения напряжение на конденсаторе полностью компенсируетсянапряжением нь индуктивности, имеющим противоположный знак. Поэтому ток в момент включения равен нулю. Пока ток нарастает, напряжению на кондьисаторе приходится поеодо-
левпть противодействие соку со стороны активног: сопротив ления и ,э.д.с. индуктивности. 3 этоі отрезок времени про исходит накопление энергии в мягнчтгом поле катушкч. П.ос-
53
ле достижения током максимального значения оба реактив ных элемента отдают свою энергию активному сопротивле нию, в котором она выделяется в виде тепла..
Второй случай fi =u)f
Найдем значение активного сопротивления и добротнос ти контура в этом случае:
(л). |
а = 4-=o.s. |
О ) |
|
1 |
|
РисЛ,37.
ІІере.іишем формулы (І.49) и ( 1 .50), учитывая, что
|
•&т |
ch get |
= / |
|
|
X - -»o |
|
|
|
tun |
fa |
_àx__ |
- |
Щжi = t |
36 -
d X
5t
( I . 5 I )
Iz^-^-tt |
'. |
(1=52) |
Нарис. 1.37 изображены множители Li +8t)u a n их произведение {і + еі)е~^ , определяющее характер измене ния напряжения на емкости.
|
Рис.1.38. |
|
Нарис. I„38 |
изображены множители t в |
и их произ |
ведение ( te. |
) , определяющее характер изменения то |
|
ка разряда. |
|
|
Из рассмотрения графиков напряжения и тока видно, что разряд конденсатора в этом случае также носит апе
риодический характер. |
|
|
|
|
|
|
||
Определим момент £ |
достижения током максимального |
|||||||
значения и величину максимума |
тока. Для этого продифферен |
|||||||
цируем выражение для тока и -.риравняем его |
нулю. |
|||||||
dL~ AL |
£-ute~S% |
- ЦеE |
М~ |
|
SteMV- |
^E |
еЛі - |
|
dt'dA |
t. |
J~ |
L^ |
|
_%J0 |
L |
|
|
55
Найдем значение активного сопротивления и добротности контура в этом случае:
S < ч, ; |
- i f < |
В данном случае величина об является мнимой:
где
Перепишем формулы (Ï.49) и ( I . 5 Ü ) , |
учитывая, что |
|||||
ciixt~zAjcOc-t |
= ccsiûct |
|
|
|
||
Э Р ^ - |
JCÜC |
- |
о;с |
> |
(1.54) |
|
Ч: = £ e ~ |
(COJ oOct |
+ ZJc sin |
(OC t)} |
|
|
|
Полученные |
выражения показывают, что в |
случаеЛ-2/> |
||||
разряд конденсатора носит колебательный характер. При этом -амплитуды напряжения и тока собственных колебаний затухают по экспоненциальному закону. Колебания происхо дят с частотой (Ос (1,53), которая получила название частоты собственных или свободных колебаний. Частота соб ственных колебаний (Ос (1.53) тем меньше отличается
от резонансной частоты последовательного Г L, С -контура Ю0 j чем выше добротность контура (X.
В том случае когда добротность контура достаточно высока, зыражѳкия (1.54) и (1.55) можно упростит!. Час тоту собственных колебаний можно приблизительно считать равной собственной частоте иАеалі:юго контура (О0 7 для