Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.07.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
которого Г-О, u)c~Lû0\ll- |
~ Ц . |
|
Вторым слагаемым выражения (.и 54) |
по сравнению с пер |
|
вым слагаемым можно пренебречь,так как |
||
Таким образом, выражения (1.54) и (1,55) принимают |
||
вид; |
|
|
ис=Ее |
|
(1.56) |
<- = -j-e |
Unu)0t, |
(1.57) |
На рис 1.39 показаны построенные |
по формулам (1.56) |
|
и (1.57) кривые изменения напряжения на конденсаторе и то ка в контуре.
eecûiuiot
Рис. 1.39«
Огибащал кривая, изображенная пунктиром, представляет собой экспоненциальный закон убывания амплитуды колебали.
Коэффициент |
J |
1 |
опредѳяяьт скорость зртуханий колебаний, |
|
поэтому он |
называется коэффициентом затухания. |
5? |
||
На рис, 1*39,6 выделен один период собственных коле баний, величина которого определяется формулой Тс =ЯЗ?^/Гс'.
\\щГ?-2р контур называют апериодическим. При Р+Лр контур Называют колебательным.
Активное сопротивление Г-Яр лежит на грани двух разных процессов: апериодического и колебательного. Поэто му сопротивление Л-йо называют критическим (граничным),
а разряд конденсатора |
при такомсопротивлениии |
критическим |
разрядом. |
|
|
Скорость убывания свободных колебаний в колебатель |
||
ном КОНТуре Uc = Ee~ |
CO£LÜ0t |
|
полностью определяется коэффициентом затухания |
||
Однако для количественной оценки скорости убывания |
||
колебании вводят еще декремент затухания Д |
и логарифми |
|
ческий дііауемѳнт затухания 0. |
|
|
Декрементом затухания называется отношение двух после довательных значений амплитуды напряжения илитока, сле дующих друг за другом через один период. На рис. 1.40 вид
ны два последовательных значения |
амплитуды, отношение ко |
||
торых равно |
|
|
|
E g " * ' |
П . |
(1.58) |
|
Je-*(t, |
+ T 0 ) - t |
|
|
Ч |
|
|
|
и |
|
|
|
\ ^ ^ ^ |
|
|
|
\ А \
\ / 1 , \
Рис і.ад.
Декремент, затухания всегда больше единицы. Чем бли же дѳкреме;:т затухания к единице, тем медленнее происходит затухание.
58
Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения двух последовательных зна чений амплитуды напряжения или тока свободных колебаний контура, следующих друг за другом через один период ко
лебания, |
|
|
|
gj. |
|
|
|
Q = {rà-tre. |
° ~$То . |
|
|||
Учтя, что 8 |
— |
-Jfj- |
и Т0 = ZJî'JÏC', получим: |
|||
|
Ѳ= |
£ - Z £ J L T = ^ - |
. |
(1.59) |
||
Амплитуда собственных колебаний контура определяется |
||||||
множителем |
£ ~ |
, |
который обращается в нуль только |
|||
при t -—> |
. Однако |
амплитуда |
колебаний вскоре после |
|||
начала колебаний уменьшается до столь малой величины, что колебание можно считать практически закончившимся.
Определим время установления £ , за которое амплитуда колебаний уменьшается в заданное число раз щ.
Взяв натуральный логарифм от выражения •
и= ~~ Е е~&*пер
получим _
Разделив время установления на время одного периода свободных колебаний, определим то число периодов А/ , за
которое амплитуда колебаний уменьшится з заданное число
Ра3:
д/- A B L — *
При t4 , равном 10 ч I0Ü, число периодов установле
ния соответственно равно
Рассмотренные процессы в контуре используются в им пульсной технике в каскадах с контуром ударного возбужде ниядля получения либо отдаленных импульсов (.Г - 2р ) , либо серии имнулисов ^Pt-Zp ) , используемых в качестве калибрационного напряжения.
54
Пример 1
Конденсатор контура С =0,02 мкФ, имеющего критичес
кое активное |
сопротивление Г• = 2J) ="1000 Ом, |
заряжен |
до напряжения £" = 1000 В. Требуется определить: |
|
|
- время |
достижения током максимального значения, |
|
-соотношение энергий в емкости и индуктивности к этому моменту,
-энергию, рассеянную в кснтурѳ.за отрезок времени^.
Решение.
1 . |
ч~S" ~ г >, . |
|
||
|
-z^-^0-01-"0 |
<l7 |
-jOfifiC- |
|
|
t.1 -^tр- z |
я |
|
|
2. |
Используя формулы( I . 5 I ) и (1 . 52), найдем |
|||
|
t = t |
fr," |
|
|
|
|
= E0+£t)e |
|
|
r
так как следовательно,
гJ
Wc
VA t-t,
3.Энергия, рассеиваемая в контуре на активном сопротивле нии, равна
ШшмйР,. i L
Определить добротность контура о;при которой часто та свободных колебаний, рассчитаннаяпо приближенной фор муле, отличается не более чем на 0,1% от частоты, определен
нойпо точной формуле.
60
Решение
Приблизительная формула
Точная формула |
|
° |
|
|
|
Относительная ошибка а процентах равна |
|
||||
(dcnp-jdcrn |
. IQQ |
|
U)Q-(JoГІ~Ц-д |
|
|
LOç op |
-^~ІГБТ '~ |
00^ |
', |
||
Отсюда находим У |
_ |
|
|
|
|
§ 15. Переходные процессы в последоьмтельном колебательном контуре при включении ис точника постоянного напряжения
Будем считать, что в контуре к моменту коммутации
(рис. І.4І) |
имеют место |
нулевые начальные условия, то |
|
есть |
|
|
|
при t = 0 |
, Uc(i) |
= 0/ |
i(o)=U. |
Рис.І»4І.
Составим уравнение баланса напряжений по второму за кону Кирхгофа :
Учитывая, что |
./., |
ГС/ |
|
|
1С |
получаем; |
|
|
(1.60) SI
Характеристическое уравнение однородного дифферен циального уравнения, образуемого из уравнения (1.60) пу
тем отбрасывания правой части, имеет вид:
рг *&iïp+u)o* - О.
Учитывая, что контур колебательный |
£U)0 ) , найдем |
||
ОІ'0 корни : |
. |
. |
|
,,-Р,--$ -j-bû..
г40 |
tu --vco*-о* |
- частота свободных колебаний конту- |
r... |
Частное рзшениѳ неоднородного уравьзния (.1.60) дает |
|
. .нуіделную составляющую напряжения u c t = E .
Общее решение однородного уравнения дааі свободную
сбставляющ-ул напряжения: |
, . |
|
|
"eck |
=-Ді* . + Й * е |
• |
|
Общее решение уравнения (1.60) равно сумма иынуадѳн- |
|||
ной и свободной |
составляющих; |
p l |
|
Ток в цепи найдем но фечмуле |
_ , . |
||
Для определения неизвестных постоянных интегрирова ние примѳьим начальные условия :
ис(о) = Е+ЛІ+Аг=0,
Решая полученную систему уравнений
ß± |
Яг ~ "Е- шг > |
находим |
Е t § \ • |
Подставив найденные значения постоянных интегрирова ния в решение, получим
62
г- г ~Sir |
, <Г |
,\ |
(i-«1 ) |
= E~te |
(cosa>e{+fi-sinu)ce). |
|
|
- |
-JJJ-t |
Ыпи)сі. |
|
(1.62) |
|
Если добротность контура достаточно высока, то |
|||
и выражения |
(І.6І) и (I.G2 ^прощаются: • • |
|
||
|
|
ис = £{{~е~ |
созаУ0{)} |
(1.63) |
|
|
L=-^-e~Si |
SîncOj. |
(1.64) |
По этим формулам на рис. 1.42 построены графики на пряжения на емкости и тока. Из'рисунка 1.42,а видно, что на пряжение на конденсаторе через половину периода после включения источника достшает максимсльногс значения, рав ного почти удвоенной величине напряжения источника. Объяс няется это тем, что конденсатор, спустя четверть периода после включения, ззрнжачтся под воздействием суммы э.д.с. источника и э.д.с. катушки самоиндукции, достигающей к концу первого юлупериода своего максимального значения. Катушкг самоиндукции, накопившая в первую четверть перио да электрическую энергию, ьо второй четверти периода оѵдает ее конденсатору. Это явление используется в ряде . импулюьоГ модуляторов радиолокационных передатчиков для заряда накопительиоч емкости до напряжения в 2 раза боль ше того, которое имеет уточник постоянного напряжения.
63