Файл: Махутов Н.А. Сопротивление элементов конструкций хрупкому разрушению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.07.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 0
Аппроксимация результатов расчета на ЭВМ размера пластической зоны на продолжении тре
щины |
при плоском |
напряженном состоянии дает |
(для |
Oi = o ^ 0 , 8 а |
О2=0) |
а) |
б) |
\б |
Рис. 9. Модель трещины в пластине из упруго-пластичного материала
В случае плоской деформации размер пластиче ской зоны получается в 5—6 раз меньше, чем по формуле (1.70).
Значительное перераспределение местных пла стических деформаций и увеличение перемещений в вершине по мере увеличения напряжений о до уровня предела текучести получено на основе ре шения задач теории упругости в предположении об разования клиновидной пластической.зоны впереди трещины. Модель трещины с клиновидной узкой пластической зоной на продолжении трещины, предложенная Дагдейлом [60] и развитая в рабо тах [21, 33, 69], представлена на рис. 9.
41
В пластине из идеально упруго-пластичного ма териала с трещиной длиной 2 I (рис. 9, а) под дей ствием напряжений о происходит образование пла
стических |
деформаций на участке |
гт |
(рис. 9,6). |
|||
При этом |
в упруго-пластической зоне |
напряжения |
||||
в направлении |
растяжения равны |
cr r l |
Решение |
|||
упруго-пластической задачи для пластины |
с трещи |
|||||
ной длиной |
2 / |
(рис. 9, а) получается на основе ре |
||||
шения двух |
упругих задач: методом |
комплексных |
функций напряжений Мусхелишвили для пластины
с трещиной |
условной |
длины 2 /,., |
нагруженной на |
||||||
пряжениями |
а на бесконечности, и для пластины с |
||||||||
трещиной длиной 21т, |
нагруженной |
напряжения |
|||||||
ми от |
на участок гт. |
Из этих |
решений следует, что |
||||||
|
|
|
/ (sec • |
— |
1\ |
|
(1.71) |
||
|
|
|
|
|
2ат |
J |
' |
|
|
На |
продолжении оси трещины |
напряжения |
|||||||
|
а |
= от при 0 < |
г < |
гт ; |
|
|
|||
|
|
= а |
_j |
а |
a r |
c tg |
х |
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
I (1.72) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
при |
r > r r |
exp 2 arc cos h [ 1 + 1л\ |
) |
• cos |
|
|
|
||||
|
|
|
IT |
|
|
|
|
|
|
Сопоставление [69], распределения |
напряжений |
||||||||
oy, получаемого |
на основе точного |
(1) |
упругого ре |
||||||
шения |
по формуле (1.4) |
приближенного упругого |
(2) решения (1.5), приближенного упруго-пласти ческого (3) решения (1.5) с использованием выра
жения (1.67) и (4) решения (1.72) |
проведено |
на |
||
рис. |
10. При относительных |
номинальных напряже |
||
ниях |
0, составляющих 0,1 |
предела |
текучести |
ат, |
42
указанные выше решения дают примерно одинако вые результаты на расстояниях от вершины трещи ны г/1 в пределах от 0,02 до 0,1. Увеличение номи
нальных напряжении |
— |
до 0,2 приводит |
к повы- • |
||
|
0"г |
|
местных |
напряже |
|
|
шению |
||||
W |
ний |
o,j |
за пределами зоны |
||
упруго-пластических |
дефор |
||||
|
маций в 1,1—1,7 раза. При |
||||
|
напряжениях а, |
составляю |
|||
|
щих |
0,5 |
предела |
текучести |
|
|
ат, |
отличие напряжений, по |
|||
|
лучаемых из упруго-пласти |
||||
|
ческого |
расчета |
и |
упругого |
0,6 r/i
Рис. 10. Распределение напряжений в вершине тре щины при упругих и упруго-пластических дефор мациях
расчета, оказывается существенным на участках, сопоставимых с размером трещины. Размер пласти
ческих зон при а = 0 , 5 а г |
по формуле (1.72) на 60% |
больше, чем на основе |
решений уравнений (1.5) |
и (1.67). Напряжения ау/а в последнем случае меньше, чем из решения упруго-пластической за дачи.
43
Перемещения |
границ |
трещины |
в |
направлении |
|||||
оси у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinJ |
ner |
|
• arc cos - |
|
v = |
cos arc cos (t) In |
Я0 |
+ |
||||||
|
arc cosX— + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2aT |
|
IT |
|
|
|
|
|
|
|
20t* |
|
l-p |
|
|
+ cos 2oT |
sin -2aT |
• sin arc cos • |
(1.73) |
|||||
|
ло |
sin arc cos |
|
||||||
|
|
sin |
— |
|
|
||||
|
|
2aT |
|
|
|
|
|
||
Раскрытие трещины |
б |
получают |
|
по формуле |
|||||
(1.73) |
при х=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6=--2v , = |
8о>/ |
In sec — . |
(1.74) |
|||||
|
|
x=l |
лЕ |
|
|
2ат |
|
|
Для сравнительно небольших уровней номиналь ных напряжений ^ — < 0,6 j выражение (1.74) пос ле разложения в ряд и ограничения ряда первым членом дает
б - ^ |
, |
|
|
(1.75) |
что совпадает с выражением |
(1.69). |
|
|
|
Предположение о других формах |
распределения |
|||
напряжений в упруго-пластической |
зоне гт |
(см. |
||
рис. 9,6), изменяющихся от от |
на границе |
упруго- |
||
пластической зоны до 1,3 а т |
в |
вершине трещины, |
приводят к уменьшению размера пластической зо
ны гт на 30—40% при напряжениях а/ат |
^0,8, |
|
У пластины ограниченной |
ширины |
2 В (см. |
рис. 6, м) величина гт с учетом |
поправок, |
вытекаю-' |
щих из упругого решения, получается больше, чем для бесконечной пластины (см. рис. 9, а) . Для пла-
44
стины бесконечных размеров напряжение, эквива лентное по раскрытию трещины напряжению а для пластины шириной 2 В [86]
В.этом случае ,Г 2В
я/
сг = |
c r s e c - ^ - . |
(1-76) |
|
°° |
25 |
v |
' |
размер |
пластической |
зоны |
|
a r c s in (sin —sec — |
— l l . |
(1.77) |
Распределение деформаций в упруго-пластиче ской клиновидной зоне при плоском напряженном состоянии получают [69, 86] на основе предположе ний о постоянстве объема при упруго-пластическом деформировании и о линейности распределения пла стических деформаций в направлении оси у в этой
зоне. |
Полагая в |
соответствии |
с этим |
ц. = 0,5, |
при |
||||
ех |
= 0, |
получают |
равенство деформаций |
ez |
и еу. |
Тог |
|||
да |
перемещения |
и = 0 и v=w; |
значения |
перемеще |
|||||
ний v |
(или w) находят |
интегрированием |
соответст- |
||||||
ствующих деформаций |
еу |
(или ez) или по формуле |
|||||||
(1.73). Р1з предположения |
о постоянстве |
осреднен- |
ных пластических деформаций ёу в упруго-пласти ческой зоне для данного значения х следует, что
2v=eyd, |
(1.78) |
где d — размер пластической зоны в |
направлении |
оси у. |
размер d пла |
Учитывая, что в тонких пластинах |
стической зоны определяется сдвиговыми деформа"-
циями под углом |
45° к плоскости пластины, можно |
||
принять размер |
d равным |
толщине |
пластины Н. |
Максимальные • местные деформации |
еу при. у = 0 |
||
для заданного сечения- х-на |
основе•предположения |
о л;иней»чо^;.за^рне-.• -распределения.. деформаций еу
•45
равны 2 еу. Тогда в соответствии с |
выражением |
(1.78) |
|
e ^ i j f . |
(1.79) |
Уравнения (1.73) и (1.79) определяют измене ние упруго-пластических деформаций на продолже нии трещины. По формулам (1.78), (1.79) и (1.74) максимальные деформации в вершине трещины ;
^ „ ~ 5 , , ( i ) ( i ) l n s s c ( , , 5 7 - 2 - ) . (1.8Щ
Распределение деформаций в упруго-пластиче ской зоне применительно к рассматриваемой моде ли трещины (см. рис. 9, б) на основе кинематиче ской схемы пластических деформаций, определяю щей закон распределения деформаций по г, записы вается в виде
|
|
|
|
е у = / ( а ) / - « , |
|
|
|
(1.81) |
||
где |
f (а) - |
функция, определяемая напряжением о; |
||||||||
|
а |
— характеристика материала; |
|
при упру |
||||||
|
|
|
гих |
деформациях а — —0,5; |
|
для иде |
||||
|
|
|
ально |
упруго-пластичного |
материала |
|||||
|
|
|
а = —1 [23, 34, 64, 79]. |
|
|
|
||||
Принимая равенство |
местной |
упруго-пластиче |
||||||||
ской |
деформации |
еу |
и деформации |
ет, |
соответст |
|||||
вующей пределу |
текучести ат , на границе |
упругой |
||||||||
и упруго-пластической зоны при г—гт, |
на основе |
|||||||||
формулы (1.81) можно записать |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
е, = ет(^у |
|
|
|
(1.82) |
||
Размер |
|
пластической |
зоны г т |
определяется ра |
||||||
венствами |
(1.71) |
и (1.77). Для ряда |
других форм |
|||||||
нагружения |
пластин результаты |
расчета |
размера |
4в
tT в рамках |
модели |
трещины, |
показанной |
на |
||
рис. 9, б, даны в работах |
[6, 84]. |
|
|
|
|
|
При растяжении пластины с периодической си |
||||||
стемой трещин, |
расположенных на оси х |
|
(рис. 6, в), |
|||
размер гт можно определить, из соотношения |
[84] |
|||||
1 |
8 |
~ ) [ + |
12 \ь |
) |
(1.83) |
|
1 + гт |
|
|
При растяжении пластины с двумя полубеско нечными трещинами силой Р, приложенной сим метрично относительно их концов, отстоящих на расстоянии с от линии действия силы [6],
г, = с 1 |
(1.84) |
] / 1 |
( 2сат ) |
Для пластин (см. рис. 9, б) [84]
гг = / |
1 |
(1.85) |
|
Из сопоставления выражений (1.82) и (1.80) следует, что деформации в вершине трещины по формуле (1.82) при г-»-0 получаются бесконечно большими при конечных значениях г т , в то время как по формуле (1.80) эти деформации имеют ко нечную величину. Конечность деформаций в верши не трещины является следствием тех допущений, которые приняты для описания закономерностей упруго-пластического деформирования в зоне тре щин.
Более изученным [23, 34, 46, 59, 64] является вопрос о развитии упруго-пластических деформаций сдвига типа I I I при антиплоской деформации (см. ;рис. 4, в). Существенные результаты в этом направ лении получены Райсом [59, 64]. Схема образова-
- 47