ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 1
Прежде чем получить решение (3 .3 .I I ) в виде элементарных функций, покажем как вычисляются интегралы вида:
у _Г Сб41сЪ-(У-Ь) |
(3.3.12) |
S ib )c (x - % )i} d £ |
|
^ " Si и ktyh |
|
U |
|
8 iy i K fy ( y - h ) |
(3 .3 .13) |
■ £ e i)c (z - № J c /k ;, |
Siyi Ktyfa
Преобразуем подинтегральные функции. Для этого умно жим и разделим их на S iv ik ty h и после некоторых пре
образований получим:
оо
* {fa ic [i(& - zli) + ( x -& ]]+& !,ich ty+ U )-(т -Ы )} -
-С вис [ f y L y ~ Z h ) - ( z - W ] - C M t c h l y + 2 l i ) +( X - % tfj]} f d>C >
U |
ой |
|
% = J J { { C v i c h y ~ t z - M ) ] ~ f a k : h y + |
* |
|
* \Сщ ic[ >iy-2h) - ( X - W ] + & ilc[b(y-zh)+ C £ -M jl- |
|
|
-C*>kh(y+2h)-U-№)]-Ct* кk iy-W -(*-№]}} Che. |
||
Из |
известного соотношения |
|
CMoi |
f |
(3 .3 .14) |
65
используя равенство (3 .3 .1 4 ), преобразуем выражение дин
и |
Подставив (3 .3 .12) в (3 .3 .13) и вынося |
постоянные за знак интеграла, получаем: |
|
СО |
^ |
$ =г / Я & 4 £ |
~ %-1:)1-С<>*,[м+(х-9№)]1+^[_2 (•/> |
О |
|
1 1 с { с ^ к 1 Щ - г к Н ( х - ^ ) - г ( у > - е - т ) ^ ] + g=0 w-<’
-tCttlch ( y + z h ) - ( X - M ) - 2 ( h - t - >»)%};].-
~Co4ic[>lLy-2h)- (z-%)t)-2(y)-l->ri) 4*7-
- G x , K l > i ( ^ 2 h ) - ( x - % t ) - z t > i - l ! - m ) > t k ] l ) d i e .
Аналогично запишем выражение для 3*
оо
If a ul t y - t e ~f t v ] + |
+(х- -Ы)]~ |
о |
|
- | V " 4' V i V „ t i C l C b i x l i b i - i h H x - t t i ) -
h=o £=0
-Coacl^ ty+2h)-(x--%t) - 2(и - £ - м )>£ A J~
'C<XK[>i(y+2b)-l-(Z'%t)-Z(h-g->r>)>?h]}]dlC.
66
Эти интегралы, как оыдо рассмотрено вше, представляв! собой дельта функции Дирака. Поэтому % и % оконча тельно можно записать:
и |
и |
п ] |
( 3 *3 * 1 5 ) |
ХУ |
c t У |
С„ [ S ’( 9 ^ ) +S(S^J~S'(9i3)~^(QnfJ]J > |
|
е-о |
w=o |
|
|
f r j f c h l t - (z -W l+ $ fa + (*■-№]- Z ( ~ № zCmi)* |
||||
|
|
|
h—о |
|
‘ t e l Zс : Ш |
. Ж |
Ш |
Ш - № > )]}. |
(3'3'I‘,) |
g-o »H2.0 |
|
|
|
|
Величины с6°и |
и |
в |
выражении (3.3.II) |
не зависят |
от волнового числа и поэтому их можно вынести за знак ив - теграла. Тогда получим интеграл, аналогичный интегралу (3.3.12) и (3.3.13). Используя эти выражения, решение зада чи окончательно запишем в виде:
u = ^ Z _ t ^ s I s ' h j K - i x - M j J - H i i j i f i ( * - w ) +
+ i n n |
a t e |
: |
n - o |
2- o |
ы = 0 |
|
|
67 |
|
- Z w r ^ z с ! £ с :1 щ < ) * |
|
||
И = 0 |
С*О |
|
|
+ Щ г ) - ? ( % ' ) - P ( f y ) ] } ; . |
|
||
U % £ |
tJ43£ М |
у I ■<* -Я«/+*/%•у - ч х - я ф - |
|
+ £ ы ) Ч ! , м > ± с ! £ с : [ * ( в и > * |
|
||
иг» |
Е-0 |
hi=° |
|
Щ ь ) - & ( $ ) - Н в ц ) ] } > |
( з - г - М |
||
Z
V= f Z
^-
f? to
(X-%t)]-
оО
Jj:*JS- H
-л
-‘.ia”w'Z Сг Г
где
~ ^ / У '+ |
~ Z ( n - £ ~ М |
(Х ~ % У |
- г С н - e - y r t - i j >?ih ; |
~l j У' (x |
-2 (y, - t- rrt +i) / ; |
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
|
|
Ojj,= |
t j - y - H x - W |
) |
- 2 ( n - £ - m - i ) t i j h . |
|
||||
|
Решение (3 .3 .17) - |
комплексное |
выражение, действитель |
||||||
ная |
часть |
которого будет |
решением уравнения (3 .1 .2 ) |
для |
|||||
данного случая. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) |
Рассмотрим |
случай, |
когда корни уравнения (3 .3 .6 ) |
|||||
частично действительные и частично мнимые. Тогда решение |
|||||||||
задачи получается из комбинаций решений (3 .3 .II) и |
(3 .3 .8 ). |
||||||||
Например, |
пусть |
|
и |
^-полож ительны е, |
отри |
||||
цательное. |
Тогда |
решение |
задачи имеет м д : |
|
|
||||
, |
Й f[A ChKQi(X-h) |
, g |
с к к Ы У -h) |
+ |
|
||||
Ц |
|
|
S h c ^ h |
|
S h c f a h |
|
|
||
|
|
|
До |
сiiYUC^ У] J |
|
die) |
|||
|
C*5> |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
& - 2 k [[* £ & |
&h w o f - h ) |
d t f ; |
§,b*.qz (y -h ) |
|
|||||
|
|
|
s h k b h |
A* |
Sh |
icfcjj |
|
||
|
|
|
cCltl |
Sin/ckCy-h) |
c ( z - ffiJ a f) C s |
||||
|
|
|
A , |
S iyiic^h |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
, |
A 'a |
Gpjicfa(y-h) |
- k 'ih К {71 -Mchc |
oo |
Ло |
S t b i c f a h |
|
|
|
|
|
\ r & [ \ Д Л |
|
f e t i |
S lv c fy /y - h ) + |
v S 4 L & 0 |
S h ic fy k + Д в |
<&h K? U |
|
fs n . $ ( у , Ш У - — } G > $ i c ( x - % £ j a f k ! . |
|||
|
-До |
$ihTc>£s h |
|
|
|
69 |
Подставляя U, |
U ,V |
в формулу (3 .1 .3 ), легко |
получаем формулу* для |
определения напряжения. |
|
Волны в слое, имеющем свободную поверхность
До сих пор изучались стационарные явления для двухком понентных сред, имеющие неограниченную протяженность в двух измерениях и для бесконечного слоя, находящегося между дву мя жесткими полупространствами. Такой подход справедлив для описания распространения волн в грунтах.
С точки зрения технических приложений и для решения не которых сейсмологических задач, а также с целью дальнейшего развития идей плоских волн представляет интерес рассмотреть задачу для упругого слоя конечной толщины, лежащего на жест
ком основании, когда по линии |
|
У'= О |
раздела |
слоя |
и |
|
основания перемещается |
вертикальное |
смещение частицы |
среды |
|
||
(иди сдвиг), а вторая |
сторона |
считается |
свободной от |
напря |
||
жения.
Направление осей показано на рис. 22 .
Пусть вертикальное смещение частицы среды движется вдоль границы слоя в отрицательном направлении оси х с постоян-
Рис.22
70
ной скоростью. Материал слоя охарактеризован в "Распростра нении волн в полупространстве". Граничные Условия задачи следующие. На верхней границе нормальное, касательное нап ряжение и давление равны нулю. На нижней границе обе сос - тавляющие вертикального смещения задаются в виде дельта - функции, касательное напряжение равно нулю.
Принятые выше граничные условия задачи принимают следую щий вид:
|
|
|
|
при |
у = о |
(3 .4 .1 ) |
ПУ-'&о |
) У = Ъ ь$ (я -Ш )) |
|
|
|||
|
|
|
|
при |
у =h , |
(3 .4 .2 ) |
Итак, задача свелась к интегрированию уравнений (3 .1 .2 ) в |
||||||
области |
|
при граничных условиях |
(3 .4 .1 ) |
и (3 .4 .2 ). |
||
Решение задачи ищется методом, приведенным в предыдущем |
||||||
разделе. |
|
|
|
|
|
|
а) |
Предположим, |
что |
|
- действительные числа. Тогда |
||
решение |
уравнений (3 .1 .2 ) |
выберем в виде (3 .3 .6 ) с |
другими |
|||
коэффициентами Вл |
и |
С* |
. Подстановка |
(3 .3 .6 ) |
в гранич |
|
ные условия (3 .4 .1 ) |
и (3 .4 .2 ) |
приводит к соотношениям |
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
+ C n S h / c ^ h ) -О ) .
и=*
3
H b b j B b t h k f a h + М Ц н 1п)=о)
(<h )CL+•(